Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
Важность изотопического спина возросла с тех пор, как стала понятной его связь со свойствами легких ядер [Ю7]. Спустя несколько лет оригинальному названию стали предпочитать более точный термин «изобарический спин», который теперь чаще всего заменяется сокращенным термином «изоспин» или i-спин. В насто-
7* 195
ящее время, однако, концепция изосппна находит свое наиболее многообещающее применение в теории элементарных частиц, поэтому она и будет развита дальше на страницах этой книги.
Протон р и нейтрон п рассматриваются как два состояния одной и той же частицы — нуклона N. Можно провести математическую аналогию со спиновой степенью свободы частицы, спин которой равен 1/2. Однако физической связи между обычным спином и изоспином нет. Просто по воле случая для них используется одинаковый математический аппарат. Полная характеристика состояния нуклона должна давать его пространственные и спиновые координаты, а также указывать, протон это или нейтрон.
Обозначим протон в пространственно-спиновом состоянии г)-(г, сг) выражением гр(г, а)\р>, а нейтрон гр(г, сг)|/г>. Здесь |р> и |гг>—базисные зарядовые состояния нуклона. Они аналогичны базисным спиновым состояниям частицы, спин которой равен 1/2, поэтому далее не будем рассматривать пространственно-спиновое состояние.
Общее нуклонное состояние можно записать в виде1
где а и Ь — комплексные коэффициенты. В таком состоянии вероятность для нуклона быть протоном равна |а|2', а вероятность быть нейтроном \Ь\2. Можно принять матричные обозначения:
Введем операторы изоспина, действующие на эти состояния, по аналогии с операторами момента количества движения для частицы со спином 1/2:
Если отбросить коэффициент 1/2, то в правой части равенства получим просто спиновые матрицы Паули, обозначенные здесь Т]. Т2 и Тз-
Величины /ь /г и 13 можно считать компонентами вектора I б изоспиновом пространстве. Как р, так и п являются собственными состояниями квадрата полного изоспина, определенного формулой
Соответствующее собственное значение есть (1/2) • (l/2-f-1) = = 3/4. Собственное значение /3 = 1/2 для р и —1/2 для п.
Используем т2 и тз, собственные значения которых равны 3 и ztl соответственно. И, наконец, определим сдвиговые операторы т+ и т_ по формулам
N)=a | РУ+Ь\ л>,
так что
/* = /? + II + 1% .
т_|_ = 2 1/2 (тх + ixa); т_ = 2 V*(ti — гг,). (7.6)
196
Отметим следующие свойства этих операторов:
т+ I р) = 0; т+ | п) = 2*/z 1 р>;
т__ | р) = 2 | /г); т_ | /г.) = 0.
Если добавить к набору Т], тг, т3 единичный оператор
1 = п ^
(\ 0А (о 1J ’
то любой оператор, действующий на общую однонуклонную волновую функцию |АГ>, можно выразить линейной комбинацией этих четырех операторов.
Таким образом, оператор электрического заряда Q, собственные состояния которого являются состояниями с определенным зарядом (+1 для р и 0 для п), задается выражением
Все сказанное выше имеет формальный смысл. Физическое значение оно приобретает в случае двух и более частиц и особенно при рассмотрении взаимодействий между ними.
Следует отметить, что |р>, \я> и |jV> можно считать функциями зарядовой координаты q. Эта координата должна быть двузначной (дихотомической) переменной, так как единственно возможные состояния нуклона при измерении — это р и п. Таким образом, q принимает значения +1 (или 1 и 2), которые характеризуют первую и вторую строки в столбце (при использовании векторных обозначений).
Таким образом, однонуклонную волновую функцию можно характеризовать пространственной и спиновой координатами (обозначив их вместе 1) и ввести еще зарядовую координату q:
Для двух нуклонов естественно обобщить волновую функцию, представив ее в виде
включив в нее координаты обоих нуклонов 1 и 2. Соответственно введем операторы изоспинов двух частиц Ij и 1г.
Рассмотрим некоторые частные случаи функции (7.8). Для состояния двух протонов
(7.7)
^(S, <7) = ^(?Ч W(<7)>-
(7.8)
(7.9)
для двух нейтронов
V = ^-2 (?l, h) I «1> I Я-2>-
(7.10)
Для системы протон — нейтрон можно записать ^ = 'Фз^Ъ ^ I Pi) I ni)t
(7.11)
или по-иному:
(7.12)
Итак, считаем протон и нейтрон разными состояниями одной и
той же частицы, характеризуемыми зарядовой координатой q. Теперь распространим принцип Паули на зарядовую координату.
