Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
Для упругого рассеяния рл~
^нач - 4W, = (3г‘/г ф (3/2, - 1/2) + (2/3)v* ф (1/2, - 1/2). (7.37) Следовательно, дифференциальное сечение
(da/dQ)/m_el = | №koh, .^нач)|2=/С | (1/3) M3 -[- (2/3) |2. (7.38)
Для рассеяния с обменом зарядами (7.30) конечное состояние выражается другой суперпозицией:
г|>кон = 2/3)‘л Ф (3/2, - 1/2) - (l/3)v* Ф (1/2, - 1/2). (7.39)
Из выражения для начального состояния (7.38) и соотношения (7.39) находим значение дифференциального сечения
(da/dQ)3apo5yl = К | 3-‘ 2‘/г М3 - З-1 2',г М, |2 . (7.40)
Из сказанного выше следует, что дифференциальные сечения этих процессов находятся в отношении
(do/d0)рл,_ : (da/dQ)^ :(da/dQ\av o6M = | М3^:3~2 | М3 +
-г- 2М] |а: 2 • 3 2 | М3 — = 9:1:2, если М3 > Ми
или 9:3:0, если М3 = Мъ или 9:1:8, если М3 = —М1г или 0:2-. 1, если М3 /И1.
204
Если полная энергия равна примерно 1236 Мэе, наблюдаемое отношение близко к 9:1:2. Значит, в этом случае доминируют переходы по каналу / = 3/2. Этот факт свидетельствует о том, что при этих энергиях резонанс приходится на изоспин 3/2. При более высоких энергиях важен вклад от обоих каналов.
§ 7.6. ГРУППА ИЗОСПИНОВОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ — ГРУППА SU(2)
В гл. 3 показана связь момента количества движения и инвариантности относительно вращения. Было бы полезно аналогичным образом в основу концепции изоспина положить принцип инвариантности или группу симметрии.
Так как само понятие изоспина введено по аналогии с моментом количества движения, можно было бы связать операторы изоспина 1 с группой вращений относительно трех осей трехмерного изоспинового пространства, отличающегося от реального пространства, но имеющего одинаковую с ним структуру. Однако вместо этого будем считать, что преобразование симметрии происходит в двумерном комплексном пространстве. Дадим здесь точное определение этого преобразования и установим его связь с формализмом изоспина. Причина такого более абстрактного определения группы симметрии изоспина заключается прежде всего в математическом удобстве. Кроме того, в этом случае более легко происходит обобщение на симметрии более высокого порядка, например SU (3).
Представим, что электромагнитное взаимодействие частиц «выключено». Тогда протон уже невозможно отличить от нейтрона и симметрия изоспина выполняется точно. Иными словами, вместо однопротонного и однонейтронного состояний в качестве основных состояний нуклона можно с равным успехом выбрать их новые линейные комбинации, например
где а и b — два произвольных комплексных числа. Коэффициенты второго уравнения выбраны так, чтобы состояния \п'~> и |р'> были ортогональны.
Таким образом,
<р' I «') = — a*b* <р\ р) + (а*)2 (р j п)~ (b*)2 (п I р) +
+ Ь*а* (п/п) = О
как следствие нормировки и ортогональности исходного базиса
\ р'} = а \ р) + b \ п);
\ п') = — Ь* \ р) + а* \ пу,
(7.41)
(р' | =а*(р | +Ь*(п | ,
значит,
(р\ рУ = (п\ пУ= 1; <Р I «> = <« I Р) =- о.
205
Вычисляя аналогичным образом <р'\р'>, находим, что если потребовать, чтобы а и b удовлетворяли условию
М2+1М2=и (7-42>
то преобразованные состояния будут нормированными:
<Р' I р'У = <п' | л')= 1.
В качестве базисных состояний в пределе точной изоспиновой симметрии можно использовать любую пару состояний, определенных уравнениями типа (7.41) с коэффициентами, удовлетворяющими (7.42). Таким образом, множество таких преобразований образует группу симметрии, лежащую в основе симметрии изоспина. Если это условие выполняется, то, согласно общему обсуждению (см. гл. 2), при рассмотрении инфинитезимальных преобразований симметрии можно получить сохраняющиеся эрмитовы генераторы, которые в рассматриваемом случае являются изоспиновыми операторами /ь 1% и /3,
Но прежде надо определить унитарный оператор U, который, действуя на состояния |р> и |п>, дает преобразование (7.41). Оператор U характеризуется параметрами преобразования а и Ь, так что имеем
U (а, Ь) | р) = | р') = а | р) + b | п>;
U (а, Ь) | п)= | а'} = — Ь* | р) + а* | п).
Тождественное преобразование изоспина получается подстановкой <2=1, Ь = О, так что U(\, 0) = 1 (единичный оператор).
Инфинитезимальное преобразование задается параметрами
а = 1 — 2_1 ie3; b = 2-1 (е2 — i ех),
где ei, ег и ез—вещественные инфинитезимальные параметры.
Пусть ei = e2=0, рассмотрим результирующее инфинитезимальное преобразование
U (ея) | р) = | р) — 2~г ie3 | р); U (е3) | п) = | п) + 2-1 ie3 | п>.
Эрмитов генератор G преобразования определяется формулой
U (ез) = l — i e3G.
Подставляя ее в предыдущее уравнение, находим, что оператор G должен действовать следующим образом:
