Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, всякое преобразование Лоренца g, не входящее в собственную
группу, либо меняет положительное направление временной оси х0, либо
det^=-1 и, следовательно, оно не может быть непрерывно соединено ни с
каким собственным преобразованием Лоренца. Таким образом, мы видим, что
собственная группа связна, а любое ее расширение уже не связно, т. е.
собственная группа Лоренца образует связную компоненту общей группы.
Очевидно, что все преобразования вида sg (s - пространственное отражение,
g-собственное преобразование) также образуют связную компоненту. Это
означает, что полная группа Лоренца состоит из двух компонент.
Временное отражение t порождает еще две компоненты: компоненту, состоящую
из элементов вида tg, и компоненту, состоящую из элементов вида tsg = Jg
(j-полное отражение в RG)).
Таким образом, общая группа состоит из четырех связных компонент:
1) Собственная группа, обозначим ее через О0.
2) Компонента sG0, состоящая из элементов вида sg (g-собственное
преобразование).
Эти две компоненты образуют полную группу.
3) Компонента tG0 (из элементов tg).
4) Компонента tsG0 (в нее входят элементы stg).
4. Связь группы Лоренца с группой комплексных матриц второго порядка с
определителем, равным единице. При изучении представлений группы
трехмерных вращений большую роль играло то обстоятельство, что каждому
вращению можно взаимно однозначно сопоставить дробно-линейное
преобразование комплексной плоскости
с унитарной матрицей а -
г-*-
" Р|
f о||
аг Ч~ Р
тг+о
причем deta= 1. Тем самым каж-[ностью до знака с определителем,
дому вращению g была отнесена определенная с точностью до знака
, II а р
унитарная матрица второго порядка = "
равным 1. Наоборот, каждой унитарной матрице а с определителем, равным 1,
соответствовало некоторое вполне определенное вращение ga> a~+ga> причем
1) произведению двух матриц ахаг сопоставлялось произведение
соответствующих вращений g^g^i gaiga, = gai0\
2) единичной матрице ^ q ^ соответствовало единичное враще-
ние е\
§ 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА
173
3) двум различным матрицам ах и а2 соответствовало одно и то же
вращение g в том и только том случае, когда эти матрицы отличались знаком
аг~ -а2.
Это соответствие между группой U унитарных матриц второго порядка с
определителем, равным 1, и группой вращений позволяло представление
группы вращений g^-Tg рассматривать как представление группы U а -> Tga -
Та; и, наоборот, представление группы U а -Та рассматривать как, вообще
говоря, двузначное представление группы вращений. Представления группы U
мы называли спи-норными представлениями группы вращений.
Между собственныйи преобразованиями Лоренца и комплексными матрицами
второго порядка имеется, оказывается, аналогичное соответствие. Установим
его. Попутно мы еще раз, и более простым путем, получим соответствие
между вращениями и унитарными матрицами.
Рассмотрим совокупность эрмитовых матриц второго порядка
с - \хо- хз хч- ixi\ /j\
II хг 1Х\ хо + хз I
Каждой такой матрице с отнесем вектор х из R^ координатами х0, х1г х2,
х3:
С+-+Х. (70
Заметим, что
det с = х^ - х2 - х\ - х2 - - S2 (х).
Соответствие между матрицами с и векторами х взаимно однозначно и
линейно. Поэтому всякое линейное преобразование в пространстве матриц с
можно рассматривать как линейное преобразование в
Зададим в пространстве матриц с линейное преобразование с помощью формулы
с' - аса\ (8)
где а - матрица второго порядка с определителем, равным 1 (звездочка
означает эрмитовское сопряжение). Очевидно, что (с')* - = ас а* - аса* =
с', т. е. с' - эрмитова матрица.
Порожденное с помощью соответствия (7') линейное преобразование в Rt
обозначим ga.
Так как detc' = detc (det а - det а* = 1), то s2(x') - s2(x), т. е.
преобразование ga является общим преобразованием Лоренца.
Соответствие a~ga, очевидно, таково, что g^g^ = ёа1а^ т> е-произведению
матриц ага2 соответствует произведение отнесенных им преобразований
Лоренца gagat• Найдем, каким матрицам а соответствует тождественное
преобразование.
Если положить с =
174 ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ч. II
Очевидно, что для таких матриц выполняется равенство
с = аса* (9)
при любых с.
1 о "
0 j = Е, то получим: аа* = Е
или
а* = а~К
Перепишем теперь равенство (9) в виде
с = аса-1.
Отсюда видно, что
ас = са,
т. е. матрица а перестановочна со всеми эрмитовыми матрицами. Такая
матрица кратна единичной:
-ч; !)•
Поскольку det а- 1, то X = -+- 1.
Таким образом, тождественное преобразование Лоренца соответ-
1 О
ствует двум матрицам а = - ^ ^ j J, отличающимся лишь знаком.
Покажем, что двум матрицам ах и аг соответствует одно и! то же
преобразование Лоренца тогда и только тогда, когда а1 = т±:а2.
Действительно, пусть gai = ga2- Это означает, что для всех с
а у а* = агса*
или
a2laiC(ailaiT = C-Таким образом, матрице a~1ai соответствует
тождественное преобразование.
Отсюда
а21а1 = - Е
или
а2 = ±0^
Итак, мы каждой комплексной матрице второго порядка а с определителем,
