Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Коэффициенты Рака могут быть выражены через коэффициенты Клебша -
Гордона. Мы опустим выкладки и приведем лишь окончательный результат:
\уЛ, ^13" ^33 ___________^__________________ 'V3 / J Z. J 1!>,,
ч .
~ (2/ + 1) /(2/12+.l)(2/23+l) mi+OT3^3+m=0 hM3 Х
\х Dli-m rtlаз w?23 гЛ\-т (OA\
A Dlvimnlzms Dliт*ит$ D?1wi?2;lm23*
Рака нашел непосредственные выражения для коэффициентов IF*;,
Соответствующая формула, а также различные полезные соотношения между
коэффициентами Рака содержатся, например, в книге Г. Я. Любарского
"Теория групп и ее применение в физике".
хода от базиса {ems} к базису {emg}
атзтг Г Г
т', з'
имеет вид
атзт'а' азз'^тш''
Доказательство этого утверждения содержится, по существу, во второй части
книги, в § 2, п. 9.
ЧАСТЬ II
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА
- "
ГЛАВА 1
ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ § 1. Группа Лоренца
Для теоретической физики, помимо представлений группы трехмерных
вращений, не менее важными являются представления группы Лоренца.
1. Определение группы Лоренца. Рассмотрим квадратичную форму
S2(x) = X24-X2-j-X2 Xq, (1)
определенную на векторах х = (х1х2х3х0) четырехмерного пространства
Линейное преобразование x' - gx, не меняющее эту
квадратичную форму, т. е. такое, что S2(x') - S2(x), называется общим
преобразованием Лоренца.
Обозначим через / матрицу квадратичной формы А'2(х)
/ =
10 0 0
0 10 0
0 0 1 0 0 0 0 -1
При всяком линейном преобразовании с матрицей g матрица квадратичной
формы / переходит в g*Ig, где g* - матрица, транспонированная к матрице
g. Следовательно, для общего преобразования Лоренца имеет место равенство
g4g = I. (2)
Отсюда видно, что detg'^ztl, и, значит, преобразование g имеет обратное
g~x. Очевидно, что g~x также есть общее преобразование Лоренца.
Произведение двух общих преобразований Лоренца есть, очевидно, снова
общее преобразование Лоренца. Таким образом, совокупность общих
преобразований Лоренца образует группу--общую группу Лоренца.
Уравнение S2 (х) = х\-f- х\-j- х2- х2 = 0 определяет в R(4) конус
(назовем его световым конусом), осью которого служит ось х0
166
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. II
(временная ось) *). Световой конус делит все пространство R(4) на три
области: внешнюю область, где S2(x)>0, и две внутренние полы: S2(x)<0 и
х0 > 0 и 52(х)<0 и х0 < 0. Всякое общее преобразование Лоренца переводит
световой конус и его внутреннюю область (т. е. область, где 52(х)<0) в
себя. Те общие преобразования Лоренца, которые еще при этом каждую полу
светового конуса оставляют на месте, мы назовем просто преобразованиями
Лоренца. Очевидно, что преобразования Лоренца не меняют положительного
направления временной оси. Преобразования Лоренца также образуют группу,
называемую полной группой Лоренца.
Преобразования Лоренца с определителем, равным 1, назовем собственными
преобразованиями Лоренца. Они также образуют группу - собственную группу
Лоренца.
Отметим, что полная группа Лоренца получается из собственной группы
добавлением специального преобразования - пространственного отражения s с
матрицей
а также всевозможных преобразований вида sg, где g-элемент собственной
группы Лоренца.
Аналогично этому общая группа Лоренца получается из полной группы Лоренца
присоединением так называемого "временного отражения", т. е.
преобразования t с матрицей
- 1 0 0 0
0 - 1 0 0
0 0 - 1 0
0 0 0 1,
t =
10 0 0
0 10 0
0 0 1 0
0 0 0 -1
и всевозможных преобразований вида tg, где g-элемент полной группы
Лоренца.
Пусть g= |gi!e\ - матрица вращения трехмерного пространства. Рассмотрим
следующее преобразование в R^i
xi - ёпХ1 "t" ёпх2~^ ёпхь' Х2 ~ &2\Х\ "Ь"ё22Х2 "Ь" ё23Х.'1' хз = ^31*1 +
ёЪ2хг+ёгъхъ> < =
(3)
Не-
очевидно, что это - собственное преобразование Лоренца. Если, таким
образом, с каждым трехмерным вращением отождествить указанное выше
собственное преобразование Лоренца, то окажется, что
*) Эта терминология происходит от физической интерпретации четырехмерного
пространства величины S2(x) и группы Лоренца.
П. 1) § 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА 167
трехмерные вращения образуют подгруппу собственной группы Лоренца.
Сделаем в конце одно замечание относительно пространственного и
временного отражения. Отнесем каждому собственному преобразованию Лоренца
g другое преобразование Лоренца по формуле
g = sgs~1(s - пространственное отражение). (4)
Очевидно, что g-снова собственное преобразование Лоренца. Соответствие
g~g, как легко видеть, таково, что
1) (е - единичное преобразование),
2) если g^g^ a g2~g2> то g!g2~gig2- Всякое соответствие g - g между
элементами одной и той же группы, удовлетворяющее двум этим условиям,
называется автоморфизмом группы.
Таким образом, пространственное отражение с помощью формулы (4) порождает
автоморфизм собственной группы Лоренца.
Временное отражение t также, очевидно, порождает автомор физм
g=ztgt~K (4')
Этот автоморфизм совпадает с предыдущим, так как легко видеть, что
tgt-1 - sgs-1.
Заметим, что матрица преобразования t совпадает с матрицей / квадратичной
