Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 67

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 132 >> Следующая

>-/г(2), что если/г(1) ¦*->¦ /г(2), то Tg^h^<-
Общее определение эквивалентных представлений, годное как для
конечномерного, так и бесконечномерного случая, почти ничем не отличается
от приведенного выше. Представления g-^-ТР и g-+Tp, действующие в
пространствах /?(1) и R^K называются эквивалентными, если в /?(1) и
R(2) найдутся такие всюду плотные линейные
многообразия R(1) и R^\ инвариантные относительно операторов
Т{р и Tf соответственно, и такой замкнутый оператор В, взаимно однозначно
отображающий на R(~\ что выполняется равенство
T{g)B = BTf. (140
Смысл приведенного нами определения эквивалентности сводится
к тому, что в пространствах R(1) и R(2>, где действуют эквивалентные
представления и g-^-T^, можно так выбрать
базисы, чтобы операторы и ТР записывались в них одной а той же матрицей.
Очевидно, что эквивалентные между собой представления не являются
существенно различными. Поэтому в теории представлений обычно
рассматривают представления с точностью до эквивалентности.
Сформулируем в заключение одно важное предложение, относящееся к
определению эквивалентных представлений. Пусть в конечномерных
пространствах R(1) a R(2) действуют неприводимые представления g -> Тд^ и
g^-T^P некоторой группы. Если существует
184
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. II
линейный оператор В, отображающий пространство /?(1) в R(2) а
удовлетворяющий соотношению
Т^В - ВТд\ (15)
то либо В отображает /?(1) на Rвзаимно однозначно и, следовательно,
представления эквивалентны, либо В = 0. Это предложение косит в теории
представлений название общей леммы Шура. Из нее легко выводится то
утверждение, которое было нами ранее названо леммой Шура *) (см. сноску
на стр. 182).
Представления, эквивалентные унитарным. Такие представления обладают
следующим очевидным свойством.
Представление g-o- Тд в нормированном пространстве R эквивалентно
унитарному, если в пространстве R существует положительно определенная
эрмитова билинейном форма, инвариантная относительно операторов Tq. (Эта
форма может быть определенной кале на всем пространстве R, так и на его
всюду плотном линейном многообразии R', также инвариантном относительно
операторов Тд.)
Действительно, если зададим с" помощью инвариантной положительно
определенной эрмитовой формы (?, т)) скалярное произведение в
пространстве R и пополним R относительно этого скалярного произведения,
то получим гильбертово пространство R. Операторы Тд из R можно продолжить
до унитарных операторов Тд в R. Очевидно, что представление g-> Тд
эквивалентно унитарному представлению g-> Тд.
8. Связь между представлениями собственной группы Лоренца и
представлениями группы комплексных матриц второго порядка. Двузначные
представления Собственной группы Лоренца. Выше мы подробно изучили
соответствие ga-+z?za между собственными преобразованиями Лоренца и
группой 51 комплексных матриц а второго порядка (deta=l). Это
соответствие g(l-^pza позволяет очевидным образом всякое представление g-
>Tg собственной группы рассматривать как представление группы 51: а->
Та=Тд . При этом выполняется равенство Та-Т_а. Очевидно, что и обратно,
всякое представление группы 5t а-л-Та такое, что Та-Т_а, можно
рассматривать как представление собственной группы Лоренца: ga-+ Тд^Е=Та.
*) Формулировку этой леммы см. в сноске на стр. 182. Приведем ее
доказательство.
Пусть оператор А коммутирует с операторами неприводимого представления
Тд: ТдА = АТ д. Пусть К-какое-нибудь собственное значение оператора А.
Очевидно, что оператор А - \Е коммутирует с Тд : Тд{А - \Е) =
= {А - \Е) Тд. Поскольку оператор (А - \Е) отображает все R в некоторое
его подпространство, то в силу общей леммы Шура он равен нулю: А - \Е =
0. или, окончательно, А = \Е, что и требовалось доказать.
§ 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА
185
Если же представление группы 91, не обладает тем свойством, что Та=Т_а,
то его нельзя, строго говоря, рассматривать как представление группы
Лоренца, так как в этом случае каждому элементу g-ga ставится в
соответствие два различных оператора Та и Т_а. Мы, однако, будем
рассматривать эти представления группы 91 наравне с теми представлениями,
которые удовлетворяют условию Та~Т_а. Для единства терминологии
представления группы 91, для которых Та Ф Т_а, мы будем называть
двузначными представлениями: группы Лоренца, представления же, для
которых Та= Т_с,- однозначными представлениями этой группы.
Можно показать, что двузначное представление собственной группы нельзя
сделать однозначным, выбрав из каждой пары Та и Т_а по одному оператору,
причем так, чтобы полученное соответствие g -> Tv осталось непрерывным.
Покажем теперь, что если двузначное представление группы Лоренца
неприводимо, то каждому элементу группы g ставятся в соответствие в
точности два оператора, отличающихся знаком, подобно тому как это имеет
место для простейшего двумерного представления ga-+±a. Действительно,
Т_а~ Т_еТа, где - г =
= ( q . Так как матрица - е коммутирует со всеми матрацами а,
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed