Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
/ 2 2
V- правая ветвь гиперболы: Хо- х8 = с< 0, х3 > 0.
VI^ Начало координат: хо = х3 = 0.
Всякое собственное преобразование Лоренца, действующее лишь в плоскости
(х0, х3) (т. е. не меняющее координат xlf х2), каждую из кривых (Г-VI')
оставляет на месте, причем любые две точки на одной и той же кривой могут
быть переведены друг в друга некоторым таким преобразованием; иначе
говоря, кривые (Г-VI') являются кривыми, транзитивными относительно
собственных преобразований Лоренца, действующих в плоскости (Х0х3). Эти
преобразования называются гиперболическими поворотами в плоскости (х0х3).
В дальнейшем мы будем иногда обозначать их через g03. Заметим, что не
только плоскость (ХоХ3), но и всякая вообще плоскость 5, проходящая через
ось х0, пересекается с поверхностями (I-VI) по кривым тех же типов (I'-
VI'). При этом гиперболические повороты в плоскости 5 (т. е. собственные
преобразования Лоренца, оставляющие эту плоскость на месте) действуют на
таких кривых транзита в но.
Пусть теперь Ах и А2-две точки в четырехмерном пространстве, лежащие на
одной и той же поверхности (I-VI).
Повернем каждую из них так, чтобы они попали в точки В3 и В2 правой
полуплоскости (х0х3): В1 = и1Л1, В2 -и2А2 (иг и и2--вращения). При
вращениях каждая из поверхностей (I-VI) переходит в себя. Отсюда следует,
что точки Вх и В2 лежат на одной и той же кривой (Г-VI') и, значит, могут
быть собственным преобразованием в плоскости (х0х3) переведены друг в
друга:
~ Sos^v
Очевидно, что преобразование g-u~lg03а1 переводит Аг в Аг
Таким образом, действительно, поверхности I-VI являются поверхностями
транзитивности собственной группы Лоренца.
Очевидно, что пространственное отражение s каждую из поверхностей (I-VI)
переводит в себя. Это означает, что у полной группы Лоренца поверхности
транзитивности те же, что и у собственной.
Временное отражение переводит друг в друга обе полы двуполого
гиперболоида и обе полы светового конуса. Поэтому у общей группы Лоренца
поверхности транзитивности лишь четырех типов:
I. Двуполостный гиперболоид: х2- х\ - х| - х|=с>0.
II. Световой конус: х2- х\ - х% - х^ = 0.
III. Однополостный гиперболоид: х2--х2- х^ - х2 - с<^0.
IV. Начало координат: х0 - хг - х2 - х3 - 0.
Сделаем теперь несколько замечаний, важных для дальнейшего.
Как мы показали, всякую точку А верхней полы гиперболоида
х20-х\ - х\ - х\= 1,1хо>0,
(6)
п. 3]
§ 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА
171
можно перевести собственными преобразованиями Лоренца в любую другую
точку этой полы, в частности в ее вершину О (1, 0, 0, 0). Самое простое
из таких преобразований - это гиперболический поворот g0A в плоскости
(х0, А), проходящей через точку А и ось х0. Но это не единственное
собственное преобразование Лоренца, переводящее точку А в точку О.
Очевидно, что любые два таких преобразования gx и g2 отличаются друг от
друга преобразованием и, оставляющим точку О на месте: иО = О. Всякое же
преобразование и, оставляющее точку О (а вместе с ней и ось х0) на месте,
является, очевидно, вращением.
Таким образом, любое собственное преобразование Лоренца g, переводящее
точку А в точку О, имеет вид
8 = "Во а
(к-вращение, gQA - гиперболический поворот в плоскости (х0, А)).
Отсюда мы видим, что для того, чтобы задать собственное преобразование
Лоренца, надо указать точку А на верхней поле гиперболоида (6),
переводимую этим преобразованием в вершину гиперболоида О, затем с
цомощъю гиперболического поворота в плоскости (А, х0) перевести точку А в
точку О и, наконец, совершить вращение и.
Другими словами, каждое собственное преобразование Лоренца определяется
парой g - (и, А) (и-вращение, А - точка гиперболоида (6)), причем, как
нетрудно проверить, разные преобразования определяются разными парами.
Из этого замечания непосредственно следует, что
1) каждый элемент собственной группы Лоренца задается шестью независимыми
параметрами (т. е., другими словами, собственная группа Лоренца-
шестипараметрическая группа). Действительно, точка А на гиперболоиде
задается тремя независимыми параметрами (например, своими координатами
xlt х2, х3) и вращение и - еще тремя параметрами (например, углами
Эйлера);
2) собственная группа Лоренца связна, т. е. любые два ее элемента gx и g2
могут быть непрерывно соединены друг с другом. Действительно, пусть gt -
(и1У А{) и g2 - (иг, А2). Если теперь непрерывно соединить вращения их и
и2 (это всегда возможно, поскольку группа вращений, как мы видели в
первой части книги, связна) и точку Ах с А2 (верхняя пола гиперболоида
также связна), то тем самым gt будет непрерывно соединено с g2.
В связи с последним замечанием определим число связных компонент полной и
общей групп Лоренца *).
*) Связной компонентой непрерывной группы называется ее часть, обладающая
тем свойством, что она сама связна, но всякое ее расширение уже не
является связным.
172
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. II
Собственная группа является связной компонентой общей группы Лоренца.
