Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 58

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 132 >> Следующая

HWum,} Чбре3 бЗЗИС Ы'
Имеем:
f , * =у Ai(tm) е
т-т1 •" К+; luin,A&I at'
Коэффициенты Al(tm),h; iinh можно выразить через коэффициенты Клебша-
Гордона.
Пусть в произведении пространств Rti X Ri есть подпространство из
собственных векторов оператора Нг с собственным значением т. В этом
подпространстве выберем два ортонормированных базиса
".} =Sr* = 0..........h + h - \"i\)
И
{^,z,-A2, ",-/,+"} = (s = 0, I, . . l1-\-l2-\m\).
Напишем
rv o7 +l% - k, m i у
7" Z<j" 7TI - Z j -{- is Zj, Zj ~'d^Zai W""Zj-{-jf
ft === ^4 ^As^e"
_ ОZi + Zg -А"Ш
- -^Z,, Z2 -<*; Z2, m-Z,-f В силу ортогональности матрицы ||cfts||
Is "¦
или
*Zi, Zj - s'Za, w-Zj+й ^ Zj, Zj-A; Z9, Zj+A^Zi+Za-A, w*
Вернемся к прежним обозначениям
/j -j- /2 - k = /, k == -j- /2 -
[x - 5 = mu s - lx - mx\
j -f- Zjj -¦ A,
или
где обозначено
тогда
- s -12 Н** ^ ^- ^2*
162 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. 1
Таким образом,
? ? ___ р.
'ZjW, 'Z2, m-mt 1ц 1-1й, U, m+h-l&ltn*
т. е.
"Zili 13^3 *i" 7/iji Wi
12тй == Z-J2; ^2" m-K2-Z*
5. Коэффициенты Рака. Рассмотрим произведение трех неприводимых
представлений рЪ, 7^ р1*, действующих соответственно в подпространствах
R,, R,, R,:
I j I а "3
Т
тя действует в произведении пространств
Я = Я, хл, ХЯг#
1\ ta
Произведение пространств /?г , /?г , можно записать двумя способами:
" = [",, X ]ХЯ,,
и
Заметим, что с каждой из этих двух записей можно связать разложение
пространства R на подпространства, неприводимые относительно
представления ig. Действительно, воспользуемся первой записью и
произведение пространств /?г X Rla разложим на неприводимые относительно
представления Тд X Тд подпространства. Обозначим веса полученных таким
образом неприводимых представлений через /19, неприводимые
подпространства через Rt ^ а сами неприводимые представления через Тд*
(индексы 1 и 2 указывают на то, что эти представления возникли от
произведения представлений 7^' и Тд). Каждое из полученных пространств R{
мы умножим и полученное произведение разложим на подпространства Rt,
неприводимые относительно произведения представления Т1д'3 X Т1д.
Пространство Rj принадлежит, очевидно, всему пространству R = - Rt X Rti
X Rl3 и неприводимо относительно представления т .
Канонический базис в пространстве Rt мы обозначим через {Sm^i'^2' ^12' У}
(числа в скобках указывают на порядок, в котором получено пространство R1
и его кинетический базис). Объединение канонических базисов во всех
пространствах Rt образует, очевидно, базис во всем R.
П. 5J § 10. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
163
Аналогично предыдущему мы можем построить разложение пространства R на
неприводимые подпространства, пользуясь записью
Канонические базисы в полученных, таким образом, неприводимых
подпространствах Rv мы обозначим через {g^(^2> h' hr У}- Объединение всех
таких базисов образует базис во всем пространстве R.
Заметим, что оба построенные нами разложения пространства R на
неприводимые подпространства, вообще говоря, различны. Действительно,
пространство R может содержать инвариантные подпространства, в которых
представление хд кратно неприводимому *), и тем самым может быть
различными способами разложено на неприводимые подпространства.
Соответственно этому и базисы
Wmi}v h' hi' У} и {glm(h' h' hr Ml
также различны. Таким образом, пользуясь двумя различными записями для
произведения пространств RltR^ и R}\ [7?z X X/?;* и Rj X [#га
X #г ]. мы построим два различных разложения про-
странства R на неприводимые подпространства и два различных базиса в R:
г h' hr и {?m(h' h' hr *,)}•
Нашей задачей является найти, как выражаются эти базисы
друг через друга. Заметим, прежде всего, что два пространства
Ri и /?г/ при различных I и Г принадлежат различным инвариантным
подпространствам пространства R и, следовательно, ортогональны. Таким
образом, векторы glm(lv h> hr h) выражаются только через векторы glm(l2,
13, 11я, /j) с /' = /.
Напишем:
ёт-Д.'2' 1к h, Za3> If т' §т' • (26)
Можно показать, что коэффициенты К1, гЦ Ь iZ, fc т' от т. и т' зависят
следующим образом:
гЛг Iu Iа, ^12" ?з" Ш _ гЛ, 1ц Za" Zjs" 1ц ^ ФФЧ
^ Zgyj Тц *V l2, Х%у ^2з> 11> (r)7УЫ7Ь' )
*) Например, произведение представлений Тхд X Т\ X Т\ содержит три
неприводимых представления с весом 1 и два представления с весом 2.
**) Это обстоятельство является общим: если"пространство R1, в котором
действует представление, кратное неприводимому с весом /, разложено двумя
способами на неприводимые пространства Rt. ...,/?& и/?*, ..., с
каноническими базисами {emg} и {ems} соответственно, то матрица пере-
164 гл. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
и формула (23) приобретает вид
gl{h, h, hi, = tt\Z\: gm(h, h, /Ю, /l).
Суммирование распространяется на все допустимые значения веса 1г%.
Рассмотрим числа
1ц la Zj2" 1$
f т _j__ ___/\ /а 7а, Z23, lt
1" '*' h ~ У(2/12 + 1)(2/23+1) •
г.1' 'ц "а> "ш >з * "13> ^2* ?23*
тЛ, Zia, ?'J3
Числа g3 называются коэффициентами Рака.
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed