Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 66

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 132 >> Следующая

соответствующие этим плоскостям hi и /г2 "прямые" Hi и на гиперболоиде
пересекаются; если прямая I лежит на конусе, то "прямые" /Д и //2 на
гиперболоиде параллельны; если, наконец, I проходит вне конуса, то
"прямые." Нх и //2 - расходящиеся.
Аналогично определяется параллельность и расходимость "плоскостей"
пространства Лобачевского в нашей модели.
Очевидно, что на гиперболоиде (13) можно ввести систему координат
(6. 1. С)
? = . = ?1 г = -?*
ха ' х0 ' Хц
Эти координаты (?, т), С) оказываются координатами Бельтрами в кашей
модели геометрии Лобачевского.
Расстояние между двумя точка".(tm) A (5t> тр, ti) и В (?2, т)2, С2) в
пространстве Лобачевского в бельтрамиевых координатах 5, ¦"), С
выражается формулой
2 1 - V 1 - т"
где
2
a k - фиксированный параметр.
Легко проверить, что эта метрика лишь множителем отличается от метрики,
которая индуцирована на гиперболоиде квадратичной формой s (а2) =
- jl-2 Х2 2 2
• и-0 1 л2 -13-
Можно было бы и дальше на нашей модели проследить различные понятия
геометрии Лобачевского, но мы ограничимся сказанным.
7. Определение представлений группы Лоренца и основные понятия теории
представлений. В п. 5 § 1 части I были даны основные понятия теории
представлений, относящиеся к конечномерным представлениям групп. Так как
все неприводимые представления группы вращений конечномерны, а любое
другое ее представление разлагается в прямую сумму неприводимых, то в
теории представлений группы вращений мы обходились, по существу, одними
лишь конечномерными представлениями.
Иначе обстоит дело с группой Лоренца. Как мы увидим ниже, среди ее
неприводимых представлений встречаются бесконечномерные.
182
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
В связи с этим мы вновь определим основные понятия теории представлений
групп, так чтобы они стали применимы в случае бесконечномерных
представлений.
Определение. Пусть R- нормированное пространство. Каждому элементу g
группы О сопоставим линейный ограниченный оператор Тд в R так, чтобы
соблюдались условия:
1) Те = Е(е-единица группы О, Е-единичный оператор в R);
2) ТВ^=Тв1.Тд-
3) непрерывность: если F (/) - ограниченный линейный функционал на R, то
при любом фиксированном /, F{Tgf) непрерывно зависит от g.
Соответствие g-+Tg, удовлетворяющее этим трем условиям, называется
линейным представлением группы О в пространстве R.
Представление называется конечномерным, если пространство R конечномерно.
Унитарные представления. Представление g ->Тд называется унитарным, если
пространство R является гильбертовым пространством и скалярное
произведенйе (?, ч\) в R инвариантно относительно операторов Тд, т. е.
(7^е, 7^-4) = (?, -ч).
Другими словами, представление унитарно, если оно действует в
гильбертовом пространстве и если все операторы представления являются
унитарными.
Неприводимые представления. Напомним (см. ч. I, § 1). что конечномерное
представление g-+Tg называется неприводимым, если в пространстве R, где
оно действует, не существует инвариантных подпространста, отличных от
самого R и от нуля. Такое определение в бесконечномерном случае
оказывается неудобным. В связи с этим мы назовем представление
неприводимым, если выполнено несколько более сильное условие, чем просто
отсутствие инвариантных подпространств: представление g->Tg, действующее
в пространстве R, неприводимо, если, во-первых, в пространстве R не
существует замкнутых пространств, инвариантных относительно всех
операторов Т , во-вторых, всякий ограниченный оператор А, перестановочный
со всеми операторами Тд, кратен единичному. Л = ХБ.
Для конечномерных представлений можно ограничиться каким-либо одним из
этих двух требований, поскольку в этом случае оба требования равносильны
*). В бесконечномерном случае это не так.
*) Этот факт составляет содержание так называемой леммы Шура: линейный
оператор в конечномерном пространстве, коммутирующий с семейством
операторов, кратен единичному в том и только том случае, когда это
семейство неприводимо (доказательство этого утверждения см. в сноске на
стр. 184).
§ 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА
183
Если представление g-> Тд, действующее в пространстве R, приводимо, то,
как правило, пространство R может быть разбито в прямую сумму
инвариантных подпространств Rk : R = 2 Rk< в каж-дом из которых
представление группы О, порожденное представлением g^-Tg, неприводимо.
Обозначим представление, порожденное в пространстве Rk, через
Представления g-*¦ мы будем
называть неприводимыми компонентами представления g-+Tg.
Эквивалентные представления. Конечномерные представления gТд* и g~*-Tp,
действующие в пространствах R^ и R соответственно, называются
эквивалентными, если существует оператор В, взаимно однозначно
отображающий /?(1) на R{2) и такой, что для любого элемента группы g
ВТ(д)=Т(д)В. (14)
Более наглядно это означает, что представления эквивалентны, если между
элементами /г(1)' пространства Rи элементами /г(2) пространства /?(2)
можно установить такое взаимно однозначное линейное соответствие /г<!)
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed