Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 10. Определение'значения массы покоя и спина частицы
В этом параграфе мы рассмотрим две физические величины, а именно: массу
покоя и спин частицы, и покажем, каким образом эти величины связаны с
матрицей L0 релятивистски-инвариантного уравнения, описывающего частицы.
1. Плоские волны. Вектор энергии-импульса. Пусть волновая функция
некоторой частицы удовлетворяет релятивистски-инвариант-ному уравнению
S^^+i'^==0, (1)
Будем искать решения этого уравнения в виде
ф(*0, Xv Х2, X3) = 'i>(p0, pv р2, рз)ег<-Г^ +РЛ+Р^-гР"х,) (2)
(такое решение называется плоской волной). Величина Ф (Ро> Pv Рг> As) =
ф(р) не зависит от координат хп, xt, х2, х3, а числа р0, р1У ръ р3 мы
будем предполагать действительными.
Заметим, что четверка чисел (р0, р1У р2, р3) .и величина ф(/?), задающие
плоскую волну (2), меняются при переходе от одной ортогональной системы
координат в четырехмерном пространстве к другой ортогональной системе
координат. Действительно, координаты одной и той же точки (xQ, xv х2, х3)
и (x'Q, х[,х'у х3) в двух системах координат связаны соотношениями
0'> k = 0, 1, 2, 3),
Где II Sik II ~g-матрица преобразования Лоренца, задающего переход от
одной ортогональной системы координат к другой. Значения же волновой
функции ф в каждой точке при переходе от координат (лг0, ху х2, х3) к
координатам (x'Q, х', х'гх'3) преобразуются по формуле
'НК' х[> 4' -гз) = ТдИх0' xv х2 *s>-Применительно к плоской волне (2)
получаем:
ф (Х'0> х[, X', х'3) = Тдф (Р) е* (20
С другой стороны, можно написать:
¦ИК- ^=W)'
П. 1] § 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ МАССЫ ПОКОЯ И СПИНА ЧАСТИЦЫ 325
где величина ty(p')= Tgty(p), а четверка чисел (р'0, р[, р'", р3) связана
с числами (р0, plt р2, р3) формулой
Pi= (г> ^ = 0, 1, 2, 3). (3)
Выражение (2') является по-прежнему плоской волной, но записанной в новой
системе координат (x'Q, х', х'г, x's). Таким образом, если в одной
системе координат плоская волна задавалась величиной ty(p) и четверкой
чисел (р0, pv р2, р3), то в другой системе координат та же плоская волна
задается величиной ф (р') = Г ф(р) и четверкой чисел (р'0, р[, р'2, /?'),
связанной с числами (pQ, pv р2, р3) формулой (3), где g= || gik [|-
преобразование Лоренца, задающее переход от первой системы координат ко
второй.
Мы видим, что при преобразовании системы координат в пространстве /?(4)
четверка чисел (р0, рх, р2, р3) преобразуется по тем же формулам, что и
координаты вектора (х0, хи х2, х3) из пространства
Рассмотрим теперь некоторое другое четырехмерное пространство /?(4> и
фиксированную систему координат в этом пространстве. Отнесем каждой
четверке чисел (р0, рх, р2, р3) вектор р из /ф(4) с координатами (р0, рх,
р2, р3) (в выбранной нами системе координат). Вектор р называют вектором
энергии - импульса (р0 называют энергией, а трехмерный вектор (рх, р2,
р3)-импульсом). Пространство /М4) называют импульсным пространством. При
этом исходное четырехмерное пространство R^ называют координатным
пространством.
Суммируя все сказанное, мы получаем, что плоская волна (2) в каждой
ортогональной системе координат пространства /?(4) задается некоторым
вектором энергии - импульса р{р0, рх, р3> Ръ) из импульсного пространства
R(4) и величиной ty{p). При переходе от одной ортогональной системы
координат к другой с помощью преобразования Лоренца g вектор р, задающий
плоскую волну, подвергается преобразованию g, а величина ф(/?)
подвергается преобразованию Тд.
Обратно, всякое преобразование Лоренца над векторами р из импульсного
пространства: р' - gp, можно рассматривать как пе-
реход от системы координат в координатном пространстве, в которой плоская
волна задавалась вектором р, к системе координат, в которой эта же
плоская волна задается вектором р'.
Вернемся теперь к уравнению (1).
Подставив плоскую волну (2) в уравнение (1), мы получим, что величина
ф(р) удовлетворяет уравнению
(- Ро + f-iPi L2p2 -f- L3p3) ф (р) + '/ф (р) - 0. (4)
326
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТЛЬВ УРАВНЕНИЯ
Если для краткости обозначить - L0p0-\-L2p2-\-L3p3 через L(p), то
уравнение (4) означает, что б(/?) является собственным вектором матрицы L
(р) с собственным значением-¦/.
L{p)'HP) = -y-'HP)- (5)
Покажем, что ненулевое решение ф(р) этого уравнения существует только для
тех векторов р(р0, рх, р2, р3) из для которых
выполнено соотношение
Pl - Pi - Pt - Pl = tf'
где (Aj = у-, а ).,г-какое-нибудь действительное, отличное от нуля
собственное значение матрицы L0.
Мы будем ради простоты предполагать, что уравнение (1) конечномерно. В
таком случае уравнение (5) допускает ненулевое решение для тех и только
тех векторов р, при которых определитель матрицы L(p)-Jrv.E равен нулю.
Определитель det (L v-E) является, очевидно, многочленом от переменных
р0, plt р.ъ р3. Обозначим его через D (р0, ри р2, р}) = D (р). Из
соотношения
TgLiTg gki - Av
i
для матриц в релятивистски-инвариантном уравнении (см. § 7, (3)) следует,
что
TgL(P) T-gl = L{gp),
где gp-образ вектора при преобразовании Лоренца g.
