Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 120

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 132 >> Следующая

(например,
2/-|-1 собственных векторов оператора И.й). Число т называют проекцией
спина на какую-нибудь ось (например, на ось х3) *)•
Выясним, как фактически, с помощью матрицы L0, определить допустимые
значения спина I частицы.
Формулы (15) и (16) § 7 показывают, что матрица Ц распадается на "ящики"
Цсу'Н, отвечающие различным значениям I.
Каждое собственное значение ХД ящика Цс/^Ц является (214~ 1)-крат-ным
собственным значением матрицы L0, причем, очевидно, соответствующие 2/-Д1
собственных векторов (т--/,...,/)
*) Спин частицы I можно физически истолковать следую цим образом. Система
покоя для плоской волны определена неоднозначно: любое вращение переводит
систему покоя снова в систему покоя, при этом так, что энергия плоской
волны (масса покоя) не меняется. Это вращение системы покоя частицы, не
меняющее ее массу, может быть истолковано как некоторая внутренняя
степень свободы для частицы. Эта внутренняя (вращательная) степень
свободы и приводит к существованию внутреннего полного момента - спина
частицы I и его проекций т на какую-нибудь ось.
332 ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ч. II
матрицы L0 преобразуются между собой при пространственных вращениях по
неприводимому представлению группы вращений веса I (эти векторы как раз и
образуют базис в пространстве Rit)- Собственным вектором <1$т отвечают
решения вида (2), описывающие различные
состояния покоя частицы со спином I и массой р,= у, отличающиеся
значением проекции спина т на некоторую ось. Таким образом, возможные для
данной частицы значения спина - это те значения I, для которых матрица
ЦсГ || имеет отличные от нуля собственные значения, причем число таких
собственных значений, умноженное на (21 -(- 1), определяет число
различных состояний со спином I.
Итак, с помощью матрицы L0 определяются как значения масс покоя, так и
значения спина для данной частицы.
4. Спин частицы в произвольной системе координат. В предыдущем пункте
мы определили спин частицы в ее системе покоя. Поскольку для любой
плоской волны, как мы видели, существует система покоя, то тем самым ее
спин определен и в любой системе координат: для этого надо положить его
равным тому значению спина, которое получит плоская волна при переходе к
системе покоя. То же самое относится и к значению проекции спина т.
Однако нам кажется целесообразным определение спина частицы сразу в
произвольной системе координат без перехода к системе, покоя.
Заметим с этой целью, что спин в предыдущем параграфе был определен из
следующих соображений: состояния в системе покоя определяются
собственными векторами матрицы L0. Матрица L0 коммутирует с операторами
Т~, соответствующими вращениям g; отсюда мы получили, что пространство R\
собственных векторов инвариантно относительно представления группы
вращений. Веса этих представлений I и являются значениями спина.
Применим эти соображения к плоской волне
4, (/?) е^~Р'>х<>+р'х'+Р!'х*+РзХ!')
в произвольной системе координат. Вектор Ф (р) является собственным для
матрицы L(p) с собственным значением-•/.
L ip) 'Нр) = - ^ ( р)-
Найдем теперь те операторы Тд из представления группы Лоренца, которые
коммутируют с матрицей L{p). Как мы видели, имеет место равенство
TsL(p)T-1 = L(gp).
Из этого равенства следует,- что оператор Тд перестановочен с матрицей
L(p) в том и только том случае, когда преобразование g оставляет вектор р
на месте: gp = p.
П. 4] § ГО. ОПЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ МАССЫ ПОКОЯ И СПИНА ЧАСТИЦЫ 333
Совокупность таких преобразований g образует подгруппу группы Лоренца.
Эта подгруппа называется стационарной подгруппой вектора р. Будем ее
обозначать G0(p). Заметим, что для вектора р(р0, 0, 0, 0), направленного
вдоль временной оси, стационарной подгруппой G0 является группа вращений.
Представление g-+Ty всей группы Лоренца порождает представление g-^-Tx
стационарной подгруппы G0(p). Таким образом, мы показали, что матрица
L(p) перестановочна только с операторами Т$, образующими 'представление
стационарной подгруппы О0 (р),
T~L (р) Т-1 - L (р).
в у
Отсюда следует, что собственное подпространство этой матрицы с
собственным значением - у. (обозначим его Rx(p)) инвариантно относительно
оператора Тх. Действительно, пусть L(p)'b(p) =
=-хф (р). Применим оператор Г- к обеим частям этого равенства
a
T~L (р) ф (р) = -у.7Дф (р),
TxL{p) = L(p)Tx,
в в
и окончательно получим:
L (р) Г~ф (р) = - у.7Дф (/;),
в 9
т. е. вектор Тх'Ь(р) снова является собственным вектором матрицы
9
L(p) с тем же собственным значением -х. Таким образом, пространство Rx(p)
инвариантно относительно представления g -> Тх стационарной группы G0(p).
Покажем теперь, что для времяподобного вектора р группа G0(p) изоморфна
группе вращений. Действительно, пусть g0--преобразование, переводящее
вектор р в направление временной оси
g0P = P'> Р\= P'z - Р3 - 0-
Очевидно, что всякое преобразование
g=golggo>
где g--вращение, оставляет вектор р на месте. Таким образом, группа G0{p)
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed