Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Из этого равенства мы получаем:
det (L (gp) + •/.?) = det (L (p) -f- v.E)
ИЛИ
D(p) = D(gp),
т. e. значения многочлена D (p) не меняются, если аргументы подвергнуть
преобразованию Лоренца. Такой многочлен D(p) постоянен вдоль поверхностей
транзитивности полной или собственной группы Лоренца, т. е. постоянен на
гиперболоидах
- s2 (р) = pi - р\ ~ р\ - р\ = const
в импульсном пространстве R(l\ Отсюда следует, как нетрудно видеть, что
многочлен D(p) зависит на самом деле лишь от - s2(p): D(p) - D[-s2(/?)L
где D(-s2)-некоторый многочлен от одной переменной - s2.
Разложим D[-s2(p)] на множители:
D [- S2 (р)\ = с [- S2 Со) - [А2] [- S2 (р) - р.2] [- S2 (р) - • |А2 ]
...
• • • [- S2(p) - |А2], (6)
где и2, р.2, . . ..р.2 - корни многочлена D.
п. 1] § 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ МАССЫ ПОКОЯ И СПИНА ЧАСТИЦЫ 327
Из этого разложения видно, что det (L (р)-\- ъЕ) обращается в нуль только
в том случае, если вектор р удовлетворяет соотношению
- s2{p) = pl - p\ - p\ - p\==^?., (7)
где - какой-нибудь из корней многочлена D. Поскольку числа Ро< Pi< Рг> Рз
действительны, корень [И тоже должен быть выбран действительным.
Таким образом, для того чтобы уравнение Ь(р)'Ь(р) = - -/.ф (р) имело
ненулевое решение и тем самым существовала бы плоская волна с вектором
энергии - импульса р (р0, ръ р2, р3), последний должен удовлетворять
соотношению (5) с каким-нибудь из действительных корней многочлена D.
Найдем теперь, как корни \х2 связаны с собственными значениями матрицы
Lq. Положим pt= р2 = ps = 0. Тогда -s2(p) = p2 и многочлен D\-s2(p)] -
D(pfy. Разложение (6) запишется при этом так:
D (Р20) = с(р2 - и2) (р2 - а2) ... ip2 - ,х2) =
= с (Ро - Pi) (Ро -Ь P-i) (Ро - Рг) (Ро + Рг) • • • (Ро - Р*) (Ро + Р к)
• (8)
С другой стороны, при pt = р2 = р3 = 0 матрица L (р) равна L(p) = - р0 L0
и det (L(p)-{- ¦/?) = det (- p0L0 -)- y.E). Последний определитель можно
представить в виде
det (- LqPq + -аЕ) = с (р0 - j^)[po - xj-) ¦ ' ¦ (Ро -17) > (9)
где Xj-, Х2, ..., Х8- отличные от нуля собственные -значения матрицы L0.
Сравнивая разложения (8) и (9), мы видим, что при соответствующей
нумерации можно положить:
Pi = -}?-. - = + -Х7 , Р-2 = Ху = --7- и т. д. (10)
Формула (10) и дает связь между корнями многочлена D и собственными
значениями матрицы L0. Из этой формулы также видно, что вместе с каждым
ненулевым собственным значением X матрица имеет собственное значение - X
той же кратности, что и X.
Найдем теперь в каком случае у матрицы L0 в уравнении (1), получаемом из
инвариантной функции Лагранжа, собственные значения действительны и в
каком случае они комплексны. Как мы видели в § 8, матрица L0 такого
уравнения должна удовлетворять условию
Фа) = 0h> Lo <Ы- (п)
где (ф1( ф2)- невырожденная билинейная эрмитова форма, с помощью которой
записывается функция Лагранжа. Равенство (11) для
328 ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ч. и
собственного вектора фх матрицы L0 с собственным значением X перепишется
так:
фл) = Чфх. фх) = Мф> Фх);
отсюда
(X - Х)(фх, фх) = О,
т. е. либо X = X и собственное значение X действительно, либо (фх,
фх)==0. Таким образом, если у матрицы L0 собственное значение X
комплексно, то соответствующий собственный вектор фх обращает в нуль
квадратичную форму (ф, ф): (фх, фх) = 0. Такие собственные векторы
матрицы L0 мы назовем недопустимыми и рассматривать их в дальнейшем не
будем *).
Итак, мы видим, что собственные значения матрицы L0 в уравнении (1),
полученном из функции Лагранжа, за исключением редких недопустимых
случаев, вещественны.
Пусть X-вещественное собственное значение матрицы L0, Тогда
число [а = также вещественно. Соотношение (5) мы можем теперь переписать
в следующем виде:
Pl~ Р\ - Р\ - P13 = (-x)2 = V?>0-
Из этого соотношения мы видим, что для вектора энергии - импульса р
плоской волны (2) выполняется неравенство
Р\ - Р\ - Р\ - Р\> 0 ПРИ "л^°
и равенство
р\ - р{ - р\ - р\=Ъ при х = 0**),
*) В следующем параграфе мы увидим, что плоской волне, построенной с
помощью недопустимого вектора фх, отвечает нулевой заряд и нулевая
энергия.
**) П-ри выводе соотношения (7) мы пользовались тем, что
D (L ъЕ) = det (L (gp) -+-%Е). Это равенство получалось из соотношения
для матриц в релятивистски-инвариантном уравнении. Однако при * = 0. это
соотношение заменяется более общим:
2 V^Aifc^i-
MoKHO показать, что у всех операторов любого конечномерного представления
определитель равен 1:
det Vg = det = 1.
Отсюда мы получаем, что и в случае % = О
det Lp = det L (gp).
П. 2] § 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ МАССЫ ПОКОЯ И СПИНА ЧАСТИЦЫ 329
т. е. вектор энергии - импульса лежит внутри светового конуса в
импульсном пространстве при % Ф 0 (такие векторы называют времяподобными)
и лежит на световом конусе при х = 0.
Подведем итог всему сказанному.
Для того чтобы существовало решение уравнения
в виде плоской волны
ф(х0, xv хг, х3) - ^(р) ei{-~P^+P'x'+^+P^1,
необходимо и достаточно, чтобы вектор энергии - импульса Р(Ро> Ръ Pz, Рз)
