Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 111

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 132 >> Следующая

спинорное представление ранга 1). Эти представления,
304
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[Ч. II
как легко видеть, зацепляются *). Поэтому можно построить реля-тивистски-
инвариантное уравнение относительно величины, преобразующейся по
представлению, состоящему из компонент тит.
Матрица L0 такого уравнения в базисе jfc'i запишется так:
tci 1. ;i (22 21
1. Vi 1, 6?
'2 2 2 2 '
0 0 сТХ 0
0 0 0 схх
с" 0 0 0
о схх 0 0
,1
'2j
(1)
{см. общие формулы (15)-(19) в § 7).
Заметим, что представление с компонентами т и т можно дополнить до
представления полной группы Лоренца **). При этом в базисе
, ?х I оператор S, соответствующий пространственному отра-( Т т Т т I
жению s, запишется матрицей
НВ oil- <¦'>
Если теперь потребовать, чтобы уравнение с матрицей L0 было инвариантно
относительно полной группы, то мы получим:
схх = схх = с,
т. е. матрица L0 имеет вид
Lq - с
0 Е 0 1
с Е 0 = сТо> Е - 1 0
(2)
Заметим, что у0 совпадает с оператором S (см. (1'))- Другие матрицы Lv
L2, L3 имеют при этом следующий вид (см. § 7, (18)-(19)):
/,"- с
0 0 1 0 0 0 0 /
0 0 0 - 1 0 0 - i 0
- 1 0 0 0 - сТз> 7-2 = с 0 - i 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 - -1
0 0 - -1 0
Li = с 0 1 0 0 == cTi-
= C'i2'
1 0
0
о
(3)
*) Напомним, что представления, определяемые числами (lQ, /х) и (/добыли
названы зацепляющимися, если
(1о> 1\) = (^о ± Ь /]) или (4 /') = (/0, lx ± 1).
**) Величина преобразующаяся по представлению полной группы, состоящему
из компонент тих, является биспинором первого ранга (см. § 5).
П. 1] § 9. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 305
Для двух компонент т и т можно построить инвариантную эрмитову билинейную
форму (как и для всякого конечномерного представления полной группы). В
базисе {%т, ?1т) эта форма имеет матрицу
0 0 10
0 0 0 1 10 0 0 0 10 0
0 Е II Е 0 ~Т°
и записывается так:
0W. Фг) =
- х i i у I 1 -|- iyi i +*i 1У1 i ~\~х \
2 2 2 2 2* 2 2* 2 2222
1-У1
2 * 2 2* 2
(4)
[хш) И {Лт}~К0°Рдинаты 4*1 и Фа в базисе Щт'Чш)- Заметим, что матрица (3
снова совпадает с матрицей оператора 5 и у0: р = S = у0.
Как нетрудно видеть, матрица L0 вида (2) при вещественном с (с- с)
удовлетворяет условию
(Дп0> Фг) = (ф 1 > ^-офг) ¦
Таким образом, существует инвариантная функция Лагранжа для уравнения с
матрицами Lk вида (2), (3) при вещественном с
^[ф(х)] = с1ш{2(Тд.^-, ф) } + *(<!>. ф).
Поскольку функция Лагранжа определяется с точностью до вещественного
множителя, то можно положить с-1, изменив, если нужно, константу г. Таким
образом, мы получим Lk = ук. Уравнение с матрицами ук называется
уравнением Дирака.
Заметим, что матрицы Дирака ylt у2, Тз> То удовлетворяют следующему
соотношению:
^11 ---------^22--------^33 ^00 ^ '
¦ 0 При ф k2
которое проверяется непосредственно. Рассмотрим матрицу
Е 0
Тб = У0Т1Т2У3 = - i 0 ~Е
(зо
(5)
Она, как легко проверить простой выкладкой, коммутирует со всеми
операторами Тд представления собственной группы; напомним лишь, что эти
306
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
операторы записываются в каноническом базисе 1л\, Г 1, ?1, |
( ~2 "Т Т ~~2 ;
матрицами вида
Д" =
Тд 0 0 7"
(д*Г
(6)
Кроме того, матрица f6 антикоммутирует со всеми матрицами {уй} (k = 0, 1,
2, 3), в частности с у0, которая одновременно служит оператором
пространственного отражения.
Составим теперь из волновой функции ф, преобразующейся по
представлению с неприводимыми компонентами
(Д1ИК4).
квадратичные относительно ф величины, образующие то или иное неприводимое
представление полной группы Лоренца.
Общий способ получения таких величин с помощью инвариантной формы (фх,
ф2) и матриц L0, Lv L2, L3 инвариантного уравнения описан в предыдущем
параграфе. Выпишем эти величины для случая уравнения Дирака.
1. Скаляр - сама инвариантная форма (ф, <{<).
2. Псевдоскаляр-(76ф, ф). Напомним (см. § 8, п. 7), что величина (Тф, ф)
является псевдоскаляром, если оператор Т коммутирует •с операторами Тд
представления собственной группы Лоренца и антикоммутирует с оператором
5. Здесь положено Т~ у5.
3. Вектор th - (уйф, ф). В п. 7 § 8 мы показали, что величины tk - (Lkty,
ф), где Lk-матрицы в релятивистски-инвариантном уравнении, преобразуются
как составляющие вектора.
4. Псевдовектор 4=(75Т/сФ> Ф) (см- снова § 8, п. 7).
5. Тензор
= (7>
В п. 7 § 8 мы показали, что величина (7) преобразуется как тензор второго
ранга. Напомним, что пространство всех тензоров второго ранга распадается
в сумму трех подпространств, неприводимых относительно полной группы
Лоренца: одномерного подпространства (скаляр), девятимерного пространства
симметрических тензоров - с нулевым следом и шестимерного пространства
антисимметрических тензоров tklk> = - tk^-
Оказывается, величина (7) может быть либо скаляром, либо
антисимметрическим тензором.
Действительно, из равенства (30 следует, что компоненты
tn-t22 = t33= 7qo = (^i> фг)
при преобразованиях Лоренца не меняются. Таким образом, величины tbk (k =
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed