Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
0, 1, 2, 3) являются скалярами;
П. 1] § 9. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 307
Для компонент с разными индексами имеем (см. (3')):
Отсюда видно, что t- -^к,к^ т- е- такие компоненты образуют
антисимметрический тензор.
Заметим, что величина
метрическим тензором tk.k,- -tktk, (Ai ф k2), причем в последнем
с тензором tkjc,-
Итак, из волновой функции ф, удовлетворяющей уравнению Дирака, мы
построили пять неприводимых величин, зависящих от ф квадратично: скаляр,
псевдоскаляр, вектор, псевдовектор и антисимметрический тензор. В п. 7
предыдущего параграфа мы видели, что из волновой функции ф,
преобразующейся по представле-
квадратично зависящих от ф, построить нельзя.
Выясним теперь, можно ли представление (6) полной группы дополнить до
представления общей группы Лоренца, причем так, чтобы уравнение Дирака
осталось инвариантным.
Пусть J- оператор, соответствующий полному отражению j. Для
инвариантности уравнения Дирака относительно этого оператора должны,
очевидно, выполняться соотношения
т. е. j антикоммутирует со всеми матрицами ук и Р = Е. Легко показать,
что такой оператор только один:
При этом, как ясно из формул (5) и (6), оператор J коммутирует с
операторами представления собственной группы Лоренца.
Если теперь положить
случае tl2 - - h v - - ^oi и т- Д-> т- е- антисимметрический тензор
tji.k, с точностью до нумерации компонент и знака совпадает
нию
других неприводимых величин,
JlkJ*1 = - Т* (А = 0, 1, 2, 3),
то легко убедиться, что имеют место равенства
ТУкТ~* = U (А = 1, 2, 3), Ту0Т~1 = - То.
308 ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
{ч. II
Кроме того, для операторов представления g-группы Лоренца выполняется
соотношение
Тп собственной
ТТпТ~х - Т,
и*г
Таким образом, операторы S = .To.
т=
ТоТб
У=*Тв
д образуют представление общей группы
вместе с операторами Т Лоренца, оставляющее инвариантным уравнение Дирака
Однако
ТоТ&:
¦ ТбТо. Тб(ТоТб) = (ТоТб) Тб и То(ТоТв) = -(ТоТв)То>
т, е. все операторы Т, S, J антикоммутируют. Другими словами, полученное
нами представление общей группы является двузначным (см. §§ 1, 3 и 7).
Итак, представление общей группы, оставляющее инвариантным уравнение
Дирака, - это двузначное представление. Операторы J, S, Т определены так:
J - гТв, 5 = то. Т= ТвТ0.
Можно, однако, построить уравнение относительно восьмикомпонентной
функции ф и инвариантное относительно однозначного представления общей
группы. В этом уравнении матрицы Lk имеют вид
Операторы S, Т, J и Тд формулами
0
IU О
h 0
0 V
(g - элемент собственной группы) задаются
О
;ТбТо
^ТбТо
О
Ад 0
0 Ад
где матрица Ад определяется формулой (6).
Заметим, что если такое уравнение рассматривать только относительно
представления полной группы Лоренца, то оно распадается на два уравнения
Дирака. Относительно же представления общей группы это уравнение является
нераспадающимся.
2. Уравнение Даффина для скалярных частиц. Это уравнение уже
приводилось в качестве примера в начале § 7 (см. сноску *) на стр. 275).
Напомним, что оно имеет вид
(М/
п. 2] § 9. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫХ УРАВНЕНИЙ
309
Как легко видеть, величина Ф = {ф, ф0, ф1( ф2, ф3} состоит из скаляра ф и
вектора (ф0, фи ф2, ф3), т. е. представление имеет две зацепляющиеся
компоненты т0~(0, 1) и т4--(0, 2)
т0 "-> (80
(Условимся такую схему называть схемой зацепления компонент.)
Для всякого уравнения со схемой зацепления (80 матрица L0 в базисе из
векторов
{?оо> ?оо> ?Г, -ь ?io> ill]
имеет вид
(8")
В качестве инвариантной билинейной формы можно, очевидно, взять следующую
форму *):
(ф1> <ы=+ 2 - <8W)
n"= -1, 0, 1
где {Х1т) И {У]т\ - координаты фх и ф2 в базисе {5]т}.
Для того чтобы существовала функция Лагранжа для уравнения с матрицей L0
вида (8"), получаемая с помощью формы (8"')> нужно, как мы видели, чтобы
(АЖ> 'b)==0W> ^оФг)-
Это приводит к равенству
Стл = - С''1''0,
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
т. е.
* - чисто мнимое; если положить ст
; i, то мы получим
написанную систему (8). Заметим еще, что любая компонента величины Ф =
(ф, ф0, ф1, ф2, ф3) удовлетворяет уравнению второго порядка
?ф-х2ф = 0 (уравнение Клейна - Гордона).
*) Заметим, что инвариантная билинейная форма для представления с
компонентами т0~<(0, 1) и тх ~ (0, 2) (tj = tj, т2 = т2) может быть
выбрана двумя различными способами:
1.
2.
1.
Нами выбран второй вариант. Как мы увидим в § 11, первый вариант не
приводит ни к положительно определенной энергии, ни к положительно
определенному заряду, а потому лишен физического интереса.
310 ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[Ч. II
Представления то~(0,1) и ^(0,2) могут быть дополнены двумя
неэквивалентными способами до представления полной группы (причем так,
что система уравнений (8) останется по-прежнему инвариантной). При одном
способе скаляр ф не меняет знака при отражении (собственно скаляр); в
этом случае говорят, что уравнение описывает так называемые скалярные
