Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
получается из группы вращений О0 так:
О0(р) = golG()g0-
Отсюда и следует, что группы Оо(р) и О0 изоморфны.
Последнее означает, что всякое представление группы G0(p), в частности
представление в пространстве Rx, можно рассматривать
334
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ' [ч. II
как представление группы вращений. Отсюда вытекает, что представление
стационарной группы в пространстве R^l разбивается на неприводимые
представления с целым или полуцелым весом I, действующие в
подпространствах Rl(p). Значения I и являются значениями спина в системе
координат (х0, лд, х2, х3). Легко показать, что эти значения спина I
совпадают со значениями спина в системе покоя.
Каждому спину I отвечает 2/ -(- 1 линейно независимых собственных
векторов матрицы L (р) (с собственным значением -у.). Их удобнее всего
выбрать следующим образом.
Рассмотрим какое-нибудь направление у в трехмерном пространстве. Можно
показать, что в стационарной группе G0(p) вектора р существует
однопараметрическая подгруппа Оот(р) преобразований, оставляющих на месте
ось у, причем эта подгруппа Gor (р) изоморфна группе вращений вокруг
фиксированной оси (например, оси р3)*). В пространстве Rl.(p), где
действует неприводимое представление стационарной группы G0(p), задано
тем самым и представление ее одиопараметрической подгруппы Ооу (/?).
Инфинитезимальный оператор, соответствующий этой подгруппе, обозначим Н-
((р). Его собственные векторы образуют базис в R1 (р), а собственные
значения т имеют вид "г = -I, -I-... -)- /. В качестве собственных
векторов матрицы L(p), соответствующих спину I, можно выбрать собственные
векторы оператора Н^{р) <!Д (р). Построен-
ные с помощью векторов '^]hu(p) плоские волны называют плоскими волнами
со спином I, "поляризованными вдоль направления у". Числа "т" называют
при этом проекцией спина I на ось у или, иначе, значениями поляризации.
В случае, если направление у совпадает с направлением импульса рх, рг,
р3, то говорят, что плоская волна поляризована по движению.
Таким образом, плоская волна в произвольной системе координат задается
вектором энергии - импульса р, удовлетворяю-
*) Действительно, преобразование g0, переводящее направление временной
оси в направление вектора р, можно выбрать так, чтобы плоскость (FO'Pa)
перешла под действием преобразования go в плоскость, натянутую на вектор
р и ось у. При этом вращения g'12 вокруг оси р3, оставляющие на месте
любой вектор плоскости (р3, ря), после автоморфизма
ir = SoSngo 1 (17)
перейдут в преобразования gy, оставляющие на месте любой вектор плоскости
(jv, у), в частности, и само направление у. Эти преобразования gу и
образуют однопараметрическую подгруппу G0y (р) стационарной группы G0
(р), оставляющую на месте ось у. Из равенства (13) видно, что группа Goy
(р) изоморфна группе вращений вокруг оси ра.
П. 6] § 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ МАССЫ ПОКОЯ И СПИНА ЧАСТИЦЫ 335
щим соотношению (12), спином I и проекцией т спина на некоторое
направление у (значением поляризации).
5. Частицы с нулевой массой покоя. До сих пор мы рассматривали уравнения
^ Ц + - 0 с у.фО. Из формулы (16),
г
определяющей значения массы покоя такой частицы, следует, что и ф 0, т.
е. при %Ф0 все массы покоя отличны от нуля.
Перейдем теперь к уравнениям с -/. = 0. Из формулы (16) следует, что при
этом ;л. = 0, т. е. для таких уравнений все массы покоя равны нулю.
Заметим, что для уравнений с -/. = 0 не существует системы покоя.
Действительно, в п. 1 мы видели, что вектор энергии - импульса р плоской
волны удовлетворяет соотношению
р1-р\-р1-р1 = ь
т. е. вектор р лежит на световом конусе. Вектор же со светового конуса
никаким преобразованием Лоренца не может быть переведен на временную ось,
т. е., другими словами, не существует ортогональной системы координат, в
которой три последние координаты вектора р обращались бы в пуль
(разумеется, кроме того тривиального случая, когда р0 = рг - р2 = рг - 0,
т. е. когда всякая система координат является системой покоя. Этот случай
лишен интереса).
Итак, в случае уравнения с х = 0 мы получаем, что у частиц, описываемых
этим уравнением, масса покоя равна нулю, а системы покоя не существует.
Термин "масса покоя" имеет здесь, таким образом, несколько условный
смысл.
6. Поляризация частиц с нулевой массой покоя. Поскольку для частиц с х =
0 не существует системы покоя, то для этих частиц теряет смысл
определение спина как веса представления группы вращений, которое
действует в пространстве собственных векторов матрицы 10, описывающих
плоские волны покоя.
Однако для частиц с х = 0 можно тем не менее, как и для частиц с х^=0,
определить поляризацию.
Мы введем ее точно так же, как в п. 3 мы определили спин и поляризацию
частицы с ч.ф 0 в произвольной системе координат с помощью представления
стационарной подгруппы G0(p) для вектора энергии - импульса р,
действующего в собственном подпространстве матрицы L(p).
Итак, пусть в некоторой системе координат мы ищем решения уравнения =
