ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
Ni = PiNi-2 + qiNi^ и Di = piDi-2 +qiDi-i. (2.14)
Конечные регулярные непрерывные дроби
Вернемся к разложению (2.6Ь), где число фо не обязательно является целым, и запишем
Фо =qo + —, где Ф1 > 1,
Ф\
Ф\ =qi + ~г, где ф2 > 1,
Ф2
ф2 =<72 + —, где фз > 1,
Фз
Периодические регулярные непрерывные дроби
49
При некотором индексе s число ф8 = qs может оказаться целым. Процесс остановится, и мы получим конечную РНД
Фо [(Zo, Qi 1 021 • • • 1 Os\i
свидетельствующую о том, что число фо рационально.
Таким образом, любая конечная РНД порождает рациональное число, а любое рациональное число — согласно алгоритму Евклида — можно представить в виде регулярной непрерывной дроби.
Коэффициент qs называется коэффициентом окончания или просто окончанием.
Периодические регулярные непрерывные дроби
При некоторых s и t может случиться так, что фв+t окажется равным ф8 (под s следует понимать индекс, при котором упомянутое равенство проявилось впервые), что, в свою очередь, приводит к равенству ф8+а = = ф8+(а mod t) а = 1,2,.... Такую ПНД называют периодической дробью
с длиной непериодической части s и периодом t.
Пример. Для нахождения регулярной непрерывной дроби, соответствующей числу л/Ы, записываем2
(2.15)
Фо — Ф\ =
Ф2 =
Фз =
Ф4 =
Фь =
V14 = 3 + (V14 - 3),
л/Ы-2
со = 1
4 ^
1---1
>
5 = 2
л/14-2
2 = 1
л/14-2
5 = 6
л/14 --- 3
1
5 ’
л/Ы-2 2
л/14-3
' 5 ’
6 + (л/14 — 3),
>/14-3
2Метод, использованный для получения этих равенств, описан в приложении.
50 Глава II
Таблица II.2. Сходимость к л/2
i -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
т --- 1 2 2 2 2 2 2
N.i 0 1 1 3 7 17 41 99 239
А 1 0 1 2 5 12 29 70 169
Si 1 3 7 17 41 99 239
2 5 12 29 70 169
В данном примере ф$ = т. е. получаемая РНД имеет длину непериодической части 1 и период 4. В самом деле, л/14 = [3,1, 2,1, 6,1, 2,1, 6,1, 2,... = = [3, (1,2,1,6)]. Другой несложный пример — вычисление л/2. Зная, что 2^2 + 3 = (у/2 + I)2, можно записать
фй = у/2 + 1 = Щ±1 = 2 + —I
У2 + 1
у/2 + 1
= 2 +
Фо
Отсюда
уД + 1 = [2, 2, 2, 2, ... л/2 = [1, 2, 2, 2, ...
[1, (2)]
Применив для вычисления последовательных подходящих к у/2 дробей та-бличный метод, получим значения, приведенные в таблице II.2. Последовательные подходящие дроби колеблются около асимптотического значения л/2:
1,5 1,41(6)
Т I Т I т
1 1,4 1,413793...
1,4142857
I т
1,4142012...
Эта типичная для ПНД картина похожа на картину затухающих электрических колебаний, хорошо знакомую инженерам-электрикам. Как заметил однажды Г. У. Тернбулл: «Значения этих последовательных отношений, становясь попеременно то меньше, то больше некоей предельной величины, приближаются к ускользающему иррациональному числу с обеих сторон, напоминая лапки пинцета, которые все сжимаются и сжимаются, но никак не могут ухватить искомое. Колебания эти с каждым шагом становятся все слабее — подобно колебаниям маятника часов, у которых заканчивается завод; разница лишь в том, что в данном случае маятник так никогда и не остановится.»
Периодические регулярные непрерывные дроби
51
Вышеприведенный пример иллюстрирует применение непрерывных дробей для нахождения приблизительных значений квадратичных иррациональных чисел. Достаточно хорошее и легкое для запоминания приближение л/2 дает подходящая дробь ?5 в таблице II.2, т. е. 99/70. В точности таково отношение длин сторон стандартного листа французской писчей бумаги (29, 7x21 см), и это вовсе не случайное совпадение — вскоре мы узнаем, что именно толкает производителей бумаги придерживаться этой выдающейся пропорции.
Таблица II.3. Сходимость к ф = (1 + л/Ъ)/2
г -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Яг --- 1 1 1 1 1 1 1
Ni 0 1 1 2 3 5 8 13 21
А 1 0 1 1 2 3 5 8 13
Si 1 2 3 5 8 13 21
2 3 5 8 13
В качестве еще одного примера можно взять такое популярное квадратичное иррациональное число, как золотое сечение, т. е. ф = (1 + л/5)/2 = = [1, 1, 1, 1, ...]. В таблице II.3 даны его первые семь подходящих дробей. Можно показать, что периодическая РНД всегда сходится к квадратичному
алгебраическому иррациональному числу, т. е. числу вида (а + y/b) /с, где а, Ь, с — целые числа, причем b не является полным квадратом. Обратное предположение (любое квадратичное иррациональное число можно выразить в виде периодической простой непрерывной дроби) было в свое время доказано Лагранжем.
