ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
3 «Ежеквартальный журнал Фибоначчи» (англ.) — Прим. перев.
Рекурсивное определение 61
Таблица III. 1. Значения Fmjn при т — 1, 2, 1/л/2 и п = —4 5
п -4 -3 -2 -101 2 3 4 5
т
1 -3 2 -1 1 01 1 2 3 5
2 -12 5 -2 1 01 2 5 12 29
1/л/2 -5/(2л/2) 3/2 --- 1 /л/2 1 0 1 1/л/2 3/2 5/(2л/2) 11/4
Рекурсивное определение
Последовательность Фибоначчи порядка га, где га — действительное положительное число, определяется как последовательность, члены которой задаются следующим образом:
-^т,о = 0? Fmi = 1, (3 1)
-^771,77 + 2 — -^771,77 Н- ^-^771,77+1 •
В качестве примера в таблице III. 1 даны последовательности порядка 1, 2 и 1/\/2 для значений п от —4 до 5.
Затравка и гномонные числа
При известном порядке последовательности Фибоначчи га величина Фт определяется следующим образом:
т = Фт- где Фт > 1. (3.2)
^771
Отсюда следует, что
— тФт — 1 = 0, (3.3а)
Л _ л/4 + га2 + га 1 _ л/4 + га2 — га
т_ 2 ’ 2 ’
1
*771
Можно также записать
Фт + — л/4 + га2. (3.36)
62
Глава III
Руководствуясь соображениями, которые прояснятся ниже, будем называть величину Фт затравочным числом числа га, а число га — гномонным числом числа Фт.
Примеры:
$1 = /1 ’ Фг = 1 + \/2, Ф1/Уз = \/2.
Определение в явном виде
В уравнениях (3.1) число Fm^n определяется рекурсивно. Ниже мы предлагаем явную формулировку через затравочное число Фт. Возможно, читатель пожелает самостоятельно доказать по индукции, что разностное уравнение
Fm,n-\-2 — Fm^n -\~ (фт — ^ -^m,n+l
допускает решение
F,„.„ = л(**т- (^' "
из которого следует, что Fm?о = 0. Установив «граничное условие» Fm^ = = 1, получим явное определение Fm^n:
Fmn = —---------т-^-. (3.4а)
Фто + 1/Фт ^ ’
В общем виде, положив Fm?о = 0 и Fm^ = к, получим
ф™ _ ( — Л1ф\п
Fmn = к-^-----‘(3>4Ь)
фт + 1/фт К ’
С учетом уравнений (3.2) и (3.3) выражение (3.4а) преобразуется к виду:
-п 1 ( (га + л/4 + га2\ /га - л/4 + га/ . .
= —5—1 4—5—1 ’¦ (35)
В частном случае при га = 1:
п / \ П'
= _(Ц?| |;
первым это выражение получил де Муавр в 1718 году.
Определение Fm,n в явном виде 63
Следующее выражение, описывающее частный случай т = 2, было впервые получено английским математиком Джоном Пеллом (1610-1685):
F2,n = ^=((l + V2)n-(l-V2D. (3.66)
В качестве дополнительного упражнения читателю предлагается также доказать весьма важное утверждение
= ,71—1 Н- ^тпФт5 (3.7)
из которого следует, что
у Fm,7i—l Н- -^ra,n у "I- ¦^'т,п у -^тп,тг—1 Н- -^га,п у • • • ^ Фгп ¦ (3.8ft)
В частности,
^1 + m\j 1 + m^/1 + —> Фт. (3.8Ъ)
Кроме того, из (3.7) также следует, что
т Fm ri _ / ч
Фт = —-----------------------------——-— при любом п. (3.8с)
-Г 771,71—1 ПГ -Г 771,71^ 771
Случай т = 1 подробно исследуется в главе VI. В случае т = 2 имеем Ф2 = = 1 + \/2, и уравнение (3.7) записывается как
Щ — ^2,n-l + ^2,n$2-
Таким образом, последовательность неотрицательных степеней Ф2 имеет вид:
1, Ф2, 1 + 2Ф2, 2 + 5Ф2, 5 + 12Ф2, 12 + 29Ф2, ... (3.9а)
Целочисленные коэффициенты в приведенной последовательности (0,1,2,5, 12,29,...) являются членами последовательности Фибоначчи порядка т =
= 2. Можно продолжить эту последовательность влево, распространив ее
на отрицательные степени Ф2:
..., 5 — 2Ф2, —2 + Ф2, 1, Ф2, 1 + 2Ф2, 2 + 5Ф2, .... (3.96)
64
Глава III
Подставив в эту последовательность числовое значение Ф2, получим
3-2\/2, -1+V2, 1, 1+V2, 3+2V2, 7+5V2, .... (3.9с)
Отметим, что если Т^, T^+i, Т^+2 суть любые три последовательных члена такого ряда, то верны равенства
