Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Газале М. -> "ГНОМОН. От фараонов до фракталов" -> 10

ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.

Газале М. ГНОМОН. От фараонов до фракталов — Институт компьютерных исследований, 2002. — 272 c.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка): gonomotfaraonov2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 77 >> Следующая


Читатели, знакомые с ньютоновским методом конечных разностей, несомненно, помнят, что если значениям переменной у поставить в со-
Таблица I.lb. Таблица конечных разностей Ньютона

X 0 1 2 3 4
У УО У1 У2 УЗ . . .
Ai=yi- уо В\ = у2 --- yi Cl = уз --- У2 D\ = У4 - уз
А2 = Вг --- А\ В2 = С!- Вг C2 = D1- Ci . . .
Аз = ?>2 --- А2 Вз = С 2 --- ?>2 Сз = D2 --- с 2
... ... . . .
ю

VO

Фигурные числа
30

Глава I

ответствие равноотстоящие значения переменной х, то можно построить таблицу разностей, аналогичную таблице I.lb. Положим Ао = у о, тогда ньютоновская формула, позволяющая выразить у в виде полинома, запишется следующим образом:

г

где выражение в скобках означает количество комбинаций, которые можно составить из х объектов, если брать их по г штук за один раз — иными словами,

ЛЛ = х\

\i) г\ (х — г)!

В случае фигурных чисел суммирование выполняется по г = 0, 1, 2, .... Пятиугольные числа, например, дают такую последовательность:

Ао = 0, Ai = 1, А‘2 = 3 (А^ = А4 = А$ = ... = 0);

отсюда, как и ожидалось, получаем

^ /п\ 0 (п\ Зп(п — 1)

рп= (ij+3(2j =П+ 2 •

Свойство треугольных чисел

Чему равен гномон квадрата треугольного числа? Для ответа на этот вопрос обратимся к рис. 1.1. На нем изображен квадрат со стороной Тп = = п(п + 1)/2, к которому добавлен L-образный гномон. Площадь гномона равна 2(п + 1 )Тп + (п + I)2 = (п + I)3. На рис. 1.2 показана последовательность треугольных чисел и их квадратов, при взгляде на которую можно прийти к одному странному выводу: квадрат суммы первых п целых чисел равен сумме их кубов.

Сирийский математик Никомах, автор знаменитого «Introductio Arith-metica»3, был неопифагорейцем и проживал неподалеку от Иерусалима приблизительно в 100 году н.э. Он пришел к выводам, тесно связанным с предыдущим нашим утверждением и проиллюстрированным в таблице 1.1с. В самом деле, сумма нечетных чисел, помещенная после целого числа п в таблице 1.1с, равна п х (2 х сумма первых п — 1 чисел) + + сумма первых п нечетных чисел = 2nTn_i + п2 = (п3 — п2) + п2 = п3.

3«Введение в арифметику» (лат.). — Прим. перев.
Фигурные числа

31

^ г

Площадь гномона = (п+\У

Рис. 1.1. Квадрат треугольного числа.

125

64

27

8

1

Рис. 1.2. Квадраты треугольных чисел и их гномоны.
















1
9
36
100
225

Таблица 1.1с. Теорема Никомаха

п Сумма следующих п нечетных чисел п6
1 1 = 0 х 1 + (1) 1з = 1
2 3 + 5 =2x2 +(1 + 3) to
со
00
3 7 + 9 + 11 =6x3 +(1 + 3 +5) З3 = 27
4 13 + 15 + 17 + 19 = 12 х 4 + (1 + 3 + 5 + 7) = 43 = 64

32

Глава I

Свойство квадратных чисел

На рис. 10 цветной вклейки показано, каким образом одно квадратное число переходит в следующее квадратное число — посредством добавления к себе своего L-образного гномона. Для преобразования квадрата с

площадью пхп в квадрат с площадью (п +1) х (п +1) к двум из его сторон добавляется по прямоугольнику с площадью п х 1 и еще квадрат с площадью 1 х 1. Такая процедура является геометрическим эквивалентом алгебраического выражения (n + I)2 = п2 + (2 п + 1). По другой геометрической метафоре этого выражения, называемой диаграммой Венна, можно проследить соотношения между членами 1, п, п2 (рис. 1.3). Как и на вклейке 10, область числа п2 граничит с областью числа п, но не единицы, тогда как область числа п граничит и с областью п2, и с областью единицы, а область единицы граничит только с областью п. Иными словами, область числа тг, возведенного в некоторую степень, граничит с теми и только с теми областями, которые соответствуют числу п в степени, на единицу отличающейся от заданной. На рис. 1.4 показаны диаграммы Венна при п = 1, 2, 3.

Рис. 1.4. Диаграммы Венна для квадратных чисел при п— 1, 2, 3.
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 77 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed