ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
Р2 = [Qs-2, Qs-1, Qs] = Qs-2 + ~p^~[ ’
Ps — Ф'
Числа po, Ръ P2, • • •, Ps мы будем называть обратноподходящими дробями. Возвращаясь к непрерывной дроби ф = [4, 1, 3, 2], получаем
Ро = 2,
Pi = 2 + != I’
л _ q_L 2 _ 17 р2 ~ 5 — "б"’
л _ 1 5 _ 22
л - л , 17 _ 105 _ 1785
^ 22 22 374 '
Необходимость введения этого понятия и его смысл прояснятся несколько
позднее, при рассмотрении витых прямоугольников, представляющих собой его геометрическую метафору.
Простые непрерывные дроби, с которым нам предстоит иметь дело в последующих главах, не всегда будут регулярными — например,
у/2
111 1
V2’ у/2’ у/2’ у/2
, V2
(2.19)
Приложение
55
Сокращением ППД мы будем обозначать простые периодические непрерывные дроби, как регулярные, так и нерегулярные.
Приложение
Как доказать истинность равенства
\/14 — 2
1) Положим
2+ y/^t 2?
X
^/14 — 2
2) Умножив числитель и знаменатель на у14 + 2, получим
5(л/14 + 2) л/14 + 2
/Т> - ------------- -- --------- •
10 2 ’
следовательно, 2х — 2 = л/14, что дает
14
(*-!)¦
4
Теперь будем последовательно подставлять в полученное уравнение значения ж = 1,2,3, ...до тех пор, пока значение в левой части не превысит значения в правой части:
х = 1 —> (х — I)2 = 0,
х = 2 —> (х — I)2 = 1,
х = 3 —> (ж — I)2 = 4 >
Наибольшее значение х, при котором значение левой части не превышает значения правой, равно 2; эта величина составляет целую часть числа х.
3) Следовательно, мы можем записать
л/14 + 2
Я = ----о---- = 2 +
56
Глава II
где у < 1 есть дробная часть числа х. Решив уравнение для у, получим
У
то есть
5 =2+VU~2
/L4-2
Резюме в формулах
Непрерывная дробь (НД), общий вид
л _ Р1
Ф — Qo Н
Р 2
Qi Н-------------------
Р з
<72 +
<7з+.
Рп
Яп-1 +
Примеры. Конечная НД (величина п конечна):
105 = 1 + 1
Qn
76 2+-Н
О 25
2 +
2
Бесконечная НД (величина п бесконечна):
1 = 1 +
7Г 9
2 +-----------------------
49
2 +
2 + ...
Простые непрерывные дроби (ПНД): pi = 1 для всех г
Ф [*7о? *7i? *72? • • • ? <7п] 4о +
^1 Н----------------------------
1
<72 +
<7з+.
Яп-1 +
Qn
Резюме в формулах
57
[.go, qi, 0.21 • • •, qn\ = [qo, [<2ъ 02, • • •, gn]] = <?о +
1
[(Zl ч 021''', 0п\
& \оо, Oh 021 • •
Oi Оз
Если qi есть положительное целое число при всех г, то такая ПНД называется регулярной непрерывной дробью (РНД).
Примеры.
Конечная РНД (величина п конечна): 87/32 = [2,1, 2,1,1,4]. Бесконечная НД (величина п бесконечна): е = [2,1,2,1,1,4,1,1,6,....
