ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
Подходящие дроби
<5о = <7о, <$1 = <7о + = [<7о, <7i], s2 = [<7о, <7i, <7г] и т.д.
Рекурсивные формулы для подходящей дроби:
Ps — Ф•
Полуиериодические РНД с длиной непериодической части s и периодом t
^i \001 Oh 02) • • • 1 0г\
г
N~ 1 — 1, N- 2 — О, D-1 — О, D-2 — 1,
Ni = Ni_2 + qiNi-1 и Di = А-2 + Формула Гюйгенса: — 7V^i-i = (—1)г-
Обратноподходящие дроби
Ф \00ч Oh 021 • • • Os— 1? (Zs]? Ро = Os,
а", о!П, ..., сг* ', а, с/, а^, ... =
Ьо, <2ъ <?2, • • •, qs-i, а'? ^5 • • • ? °^Ь ^).•
58
Глава II
Иррациональные квадратные корни: л/TV где оо = 2а:
V2 = [1, (2)], v/3=[l, (1,2)], V5 = [2, (4)], у/Ы = [3, (1, 2, 1, 6)].
Периодические ПНД с периодом t
ф = [а, о!, а/^,..., 1\ а, а\ ап, а/^,
(а, с/, с/', с/", ..., .
, г\а,а',ап,
Глава III
Последовательности Фибоначчи
Последовательность Фибоначчи веками интриговала математиков, отчасти потому, что она имеет обыкновение обнаруживаться в самых неожиданных местах, но главным образом потому, что даже самый что ни на есть дилетант в теории чисел, не обладающий никакими специальными знаниями помимо элементарной арифметики, оказывается в состоянии исследовать ее удивительные свойства и открывать все новые и новые любопытные теоремы во всем их бесконечном разнообразии. Недавние разработки компьютерных программистов вновь пробудили интерес к этому ряду чисел, поскольку выяснилось, что его можно с успехом применять при сортировке данных, поиске информации [и] генерации случайных чисел.
(Мартин Гарднер)1
Французский математик XIX века Эдуар Люка, опубликовавший монументальный четырехтомный труд, посвященный математическим играм и развлечениям, обнаружил в книге Леонардо Пизанского по прозвищу Фибоначчи «Liber Abaci»2 некую числовую последовательность. И хотя сам Люка уже знал о существовании такой последовательности и даже немало времени посвятил ее исследованию, он все же признал первенство Леонардо, и этот ряд чисел приобрел широкую известность под именем чисел Фибоначчи. Очарованию чисел Фибоначчи оказались подвержены многие поколения как серьезных математических теоретиков, так и практикующих любителей; бесчисленные проявления этой числовой последовательности мы можем наблюдать в расположении семян в цветках подсолнечника и сосновых шишках, в божественном сечении, электрических цепях, удивительной спирали Бернулли и многих других естественных и искусственных
1 Mathematical Circus (Middlesex: Penguin Books, 1979), p. 155.
2«Книга абака» (лат.) — Прим. перев.
60
Глава III
феноменах. Чуть ли не каждый день обнаруживаются какие-то новые или заново открываются забытые старые свойства числового ряда Фибоначчи; если собрать все эти открытия вместе, то наберется материала на несколько солидных томов. Создаются даже клубы любителей Фибоначчи, с 1963 года Ассоциацией Фибоначчи издается ежеквартальный журнал «The Fibonacci Quarterly»3 под редакцией Вернера Э. Хогарта из Колледжа штата Калифорния в Сан-Хосе. Что же касается настоящей книги, то глава о числах Фибоначчи вошла сюда по той простой причине, что этот числовой ряд имеет самое непосредственное отношение к исследованию рекурсивных процессов, в особенности тех из них, что порождают гномонные, или самоподобные, фигуры — такие как геометрические фракталы и их спиральные огибающие. Мы также полагаем, что нам удалось внести некоторый скромный вклад в данную область математических исследований, хотя в ее теперешнем крайне неупорядоченном состоянии достоверно оценить степень новизны чего бы то ни было весьма и весьма затруднительно.
Классическая последовательность Фибоначчи (ПФ) начинается с двух единиц, а каждый последующий ее член равен сумме двух непосредственно предшествующих ему членов. Получаемый при этом ряд чисел имеет следующий вид:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
Если продолжить такую последовательность влево, допустив существование отрицательных членов, то получится ряд, бесконечный в обоих направлениях:
... - 21, 13, -8, 5, -3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
Этот ряд оказывается симметричным относительно нуля, если не считать того обстоятельства, что каждый четный его член слева от нуля отрицателен. Если же построить последовательность чисел, каждое из которых равно разности между двумя соседними числами Фибоначчи (назовем ее гномонной последовательностью Фибоначчи), то обнаружится, что полученная последовательность в точности совпадает с исходным рядом Фибоначчи, за исключением небольшого сдвига «по фазе». Можно сказать, что последовательность Фибоначчи гомогномонна. Существуют многочисленные обобщения числового ряда Фибоначчи, среди которых числа Люка, числа Трибоначчи, придуманные Марком Фейнбергом, и др. Мы ограничимся одним простым обобщением, которое, на наш взгляд, наиболее удобно при рассмотрении свойств спиралей, а также некоторых других интересных математических феноменов и рукотворных объектов.
