ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
г> п— 1 \ <-) / | ^ п \ 9
т \ гп ) \ гп
(3.186)
Fm,n+2 = тп+1Рп+1 ' 1
Альтернативное явное определение
67
Утверждение (3.18а), таким образом, доказано для г = п + 2 и, следовательно, истинно для всех значений г. В явном виде его можно записать так:
R
га,п+1
ГП
п
Е
з
п- J
3
1
3
rrv
i = 0, 1, 2, ... (3.18с)
Таблица III.2. Биномиальные коэффициенты / ---------------> / -------------------
0 1 2 3 4 5 6
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 • • •
0 1 2 3
0 1
1 1
2 1 1
3 1 2
4 1 3 1
5 1 4 3
6 1 5 6 1
7 1 6 10 4
1~]
/
Примеры. Используя таблицу коэффициентов (г j3) (см. табл. III.2), можно вычислить следующие значения Fmj:
-^1,5 —1 + 3 + 1 — 5,
F2> з=22(1 + 1/4) = 5,
F2,4 = 23(1 + 2/4) = 12,
F2> s = 24(1 + 3/4 + 1/16) = 29,
^3,3 =32(1 + 1/9) = 10,
F3> 4 =33(l+2/9) = 33,
F3>5 = 34(1 + 3/9 + 1/81) = 109.
Отметим, что сумма чисел в г-м ряду правой таблицы равна F\^. Возможно, читатель пожелает также убедиться в истинности следующих утверждений:
71—1
F,
n + j
m,2n
2j + l
n
F,
га,2тг+1
E
j=0
n + j \ 2 j m J
2 j
, n, j = 0, 1, 2,
(3.18<i)
68
Глава III
Моногномонная простая периодическая дробь
По определению, все неполные частные (qi) регулярной непрерывной дроби являются целыми числами. В простых же непрерывных дробях (все числители которых равны 1) вполне могут присутствовать нецелочисленные и даже — как мы увидим чуть позже — комплексные «частные». Хотя в рамках алгоритма деления термин частное и содержит некоторую целочисленную коннотацию, мы все же будем и далее использовать его в общем случае. Такие непрерывные дроби, продолжая оставаться простыми, уже не могут считаться регулярными. Тем не менее, мы позволим себе и дальше записывать их в квадратных скобках, как показано ниже:
У5 + 1
1, 1.
1.
У5 + 1
У2 =
л/3 + 1 _ 2
УЗ+1
1111
^ v/2 у/2 у/2
12 12 12
J_, Z,, J_, • • • , -L,
УЗ+1
= [1, 2,1,2,...,!, у/3 + 1]
(3.19а)
(3.196)
(3.19с)
(3.19(f)
Несмотря на наличие окончаний (там, где они есть), выражения в квадратных скобках представляют собой строго периодические простые непрерывные дроби (ППД). Первые две ППД с периодом 1 называются моногномон-ными, две оставшиеся (с периодом 2) — дигномонными. В общем виде, ППД с периодом N будем называть TV-гномонной.
Ниже будут рассмотрены только дигномонные и моногномонные ППД, поскольку они имеют непосредственное отношение к исследованию определенных классов итерационных процессов — таких как спирали и лестничные электрические схемы. Сравнив рекурсивные формулы (2.12) для непрерывных дробей
Ni = Ni-2 + qiNi-i, Di = Di-2 + <7г^г-ъ 2 = 0, 1,2, ...,
где
N—2 — D i — 0,
N- i — D—2 — 1, с рекурсивной формулой
-^га,г+2 — -^га,г Н- ^-^т,г+1? Где Fmfl — 0, Fm, 1 — I5
(3.20а)
(3.206)
и положив go = <7i = <72 = • • • = <7г-1 = т, получаем
Fm,i — Ni—2 — Di— i
(3.20с)
МОНОГНОМОННАЯ ПРОСТАЯ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ДРОБЬ
69
И
Si =
Ni—2 + QiNi— l -^га,г Н- 1
Di—2 + QiD{— i i ~b QiFrn,i
Рассмотрим простую непрерывную дробь
(3.20d)
m, m, m,
m, m,
71
, 777/, фт
(3.21)
положительное число фт в такой записи называется окончанием и может быть как рациональным, так и иррациональным. Подходящие дроби этой непрерывной дроби (начиная с крайнего левого числа в квадратных скобках) имеют вид:
?о =
m
Fm,О Н- TH'F'm,! -^га,2
Fm,— 1 H- -^ra,l
-^ra,l H- TFlFm,2 -^ra,3
Fm,0 H- TYlFm, 1 Fm,2
= 777/,
(3.22)
&
m, m, m, ..., m
Fm:i H- TYlFq
Я
m,i+2
i+l
Fm,i—1 H- TTlFf
т,г
Fn
1
Начав же с последнего числа в квадратных скобках, т. е. с окончания или, что в данном случае то же самое, с затравки, можно записать следующие обратноподходящие дроби pj:
Ро
Pi
Фт Ч
771, ф.
р2 = [Ш, 771, фт
-^771,1 “Ь ФтFш^2
Fm,0 Н- ФтFrn,l Fm,2 Н- ФтFrn^\
-^771,1 “Ь Фт-^771,2
(3.23)
Pj
777/, 777/, 777/, 3
