ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
Ф2 Ti = Тг+1 и Тг + 2Ti+i = Ti-\~2 •
В соответствии с уравнением (3.8) имеем
_ 1 + 2Ф2 _ 2 + 5Ф2 _ 5 + 12Ф2 _ 12 + 29Ф2 _
2— Ф2 _ 1 + 2Ф2_ 2 + 5Фг ~~ 5 + 12Ф2 _
или
з - 2V2 -1 + V2 1
(3.10)
-7 + 5V2 3-2V2 -1 + V2
= 1 + 72=3 + 2^ = 2 + 5v^ = ...
1 -Ь л/2 3 + 2 л/2
Эти результаты можно обобщить на любое значение га, т. е.
ф тХг = Тг+1 И Ti + mTi+1 = Тг+2.
К частному случаю га = 1 мы вернемся в дальнейшем при рассмотрении золотого сечения. Положив
= %=±i. (З.11)
-Г т,п
получим из уравнений (3.4) следующий результат для больших значений п:
Fm,n+1 ФЙ.+1 - (_1/Фта)"+1 „ д
Fm,n Ф” - (-1/Фт)п ~ т
или
</W = ------------> Фт- (3.12а)
-Гт,п ПРИ больших п
Далее установим, что Fm^n = TVn_2 = Dn_ 1, где iVn и Dn являются, соответственно, числителем и знаменателем п-й подходящей дроби непрерывной дроби [га, га, га, ...]. Согласно теореме Гюйгенса (см. главу II) 7Vn_il}n — 7Vnl}n_i = (—1)п. Таким образом,
(-^777,77+1 ) -^777,77-^777,77 + 2 — ( l) ИЛИ (,77 +1) — -^777,77-^777,77 + 2 Н- ( 1) 7
Определение Fm,n в явном виде 65
отсюда получаем
1 -^771,71+1 -^771,71 (-^771,71+1 )2 - (Fm ,7l)
Фт,
п
фт,п -^771,71 -^771,71+1 -^771, 71-^771,71+1
-^771,71 (-^771,71+2 Fm,n) + ( — l)n ^(^ra, 71-^m, 7i+l) + ( —1)
71
-^771,71-^771,71+1 -^771,71-^771,71+1
?
/ 1 - _u (“1}
^m,n I — Ш
n
фт,п -^771,71-^771,71+1
TO есть
4>m,n ~ -A----------------------*• m‘ (3.126)
'lpm,n ПРИ больших n
Например,
_ 13 13 8 _ 105 _ л , 1 _ л
^1?6 8 ’ 8 13 104 104 ~ ’
,/,0 * = ™ 70 _ 29 = 4059 = 2 _ _±_ „ 2.
^2’5 29’ 29 70 2 030 2 030 ~ ’
кроме того, из уравнений (3.4) имеем
фтг+1 фп+1
Fm,n. (3.12с)
-|- 1 тФт 2 при больших п
Т~ГЬ
Например,
ф!6
1 2 206 ~ . 609,7234 и 610 = Fi,15,
Ф1 +2 3,618034
ф1 1154
2Ф2 + 2 6,828427
^ 169 = F2,7.
В качестве самостоятельного упражнения читателю предлагается убедиться в том, что вышеприведенный результат остается истинным вне зависимости от того, какое значение присвоить члену Fm^ (отличное от 1 в определении (3.1)). Можно также показать, используя выражение (3.4а) для Fm?n, что
-^771,271+1 — Fmn + FmnJr 1, (3.13)
/7^2
± 771,71 + 2 ^ 771,71 , ч
^771,271 + 2 — ------------------------------------------------------Щ-• W-i4J
66
Глава III
Выражения (3.13) и (3.14) вместе с начальными условиями Fm?о = = 0, -Fm?i = 1 можно использовать как альтернативный рекурсивный метод для построения последовательностей Фибоначчи.
Альтернативное явное определение
Ниже предлагается другой способ определения в явном виде. Обозначим через Q) биномиальный коэффициент
г!
j К* - j)!
(3.15)
Фундаментальное свойство этой функции от целочисленных i и j имеет вид:
Определим полином Pi (х) как
pi (х) = у j )х31 J =0, 1, 2, ..., г; (3.17а)
применив свойство (3.16), можно легко показать, что
Pi+1 (х) = хРг-1 (х) + Pi (х), i = 0,1,2,... (3.176)
Это, в свою очередь, позволяет записать (при Fm?о = 0)
Fm,i+1 = rnlPi (~^j ¦ (3.18а)
Это уравнение можно доказать по индукции следующим образом:
1) При i = 0 и i = 1 проверка истинности уравнения не представляет особой сложности.
2) Исходя из условий определения (3.1) и допустив, что уравнение истинно при г = пиг = п + 1, можно записать
Fm,n+2 = тп~гРп-х + тп+1Рп (\
\ т J \ гп
тп+1
1 Рп—1 (Л) +Рп' 1
