Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
а для всех т' Ф т
У1, т'(0=»г, т'(0; i= 1, 2- (8.6.6)
Будем считать, что все функции г/г>т(/) при i — 1, 2 и 1 ^ т ^ М наблюдаются только в интервале [—(Т — L)/2, (Т — L)/2]. В этом интервале все функции vitTn(f), n^m(t) и n-ttm> (t) для m' Ф m являются выборочными функциями независимых стационарных гауссов-
ских процессов с нулевыми средними; vi m (t) (при i= 1,2) имеют спектральную плотность So(J),a ni m (t) и nl m’ (t) (при всех пг'Ф m и i =
— 1,2) имеют спектральную плотность N0. Наконец, примем, что модель справедлива для всех значений М и Т.
Пусть М (т) = j Sa(f)ei2ltlxd f — автокорреляционная функция
неусеченных процессов vt^m(t) и пусть {^(т)} и {\,}— собственные функции и собственные значения М(т) на интервале (— 7\/2, Т2/2), где Тг = Т — L,
Г,/2
5 М (r2—x1){l'j(x2)dr2--=-Kj'd'j(T1); \х1\<Т1/2. (8.6.7)
-П/2
Определим случайные величины vu j, nit rrii s и yitm't j равенствами
T,/2
Vi,m,i= S vUm{t)^j{t)dt, (8.6.8)
-Til 2
Ti/2
S nUm{t)^j(t)dt, (8.6.9)
-Til 2
Ti/2 , , ,
Г Vi m' i + nl m' m =m>
S ’ я : ’ (8.6.Ю)
—rt/2 I fn =r=rn'
При принятых предположениях может быть вычислено в прием-
нике для всех г, т', /. Оно представляет собой выборочное значение гауссовской случайной величины с нулевым средним и дисперсией, задаваемой равенством
__------ j Xj -j-N0; т' — т,
( jV0; т'фт, ^ ^
где m — переданное сообщение.
15 Зак. 210 449
Пусть ym—последовательность выходных случайных величин
{Уит-.V •••> У\,т’,р У2,т-.1....... У 2, т', j) ¦ СяаЧаЛа бУДеМ СЧИТаТЬ,
что J произвольно, но фиксированно, а затем рассмотрим предел при J -у оо. При т Ф т' совместная плотность вероятности ут> задается равенством
Ро (Ут') ~ п П ехр ( — ) • (8.6.12)
i = i/=1 > 2лЛ-0 \ 2N0 J
Если т! = т, где пг — переданное сообщение, то совместная плотность вероятности ут> задается равенством
2 J
1 и? ,
(8.6.13)
Pl( Ут')= П П 1
¦ ехр
У1, т' ./
2(N0 + 'kj)
1 /= 1 У 2л (N0-j-Xj)
Следовательно, при условии, что сообщение т передано, совместная плотность вероятности всего множества принятых случайных величин гДе 1 ^5 / ^ -Л задается равенствами
Р(Уъ Ум\хт)=Р1.{Ут) П Ро(Ут')= (8.6.14)
т'^=т
М
П Ро(ут'). (8.6.15)
Ро (Ут) т' = 1
Декодер по максимуму правдоподобия, принимающий решение по этому множеству случайных величин (с индексами 1 ^ J),
будет декодировать такое т, которое максимизирует рх(ух, ум |хт) или, что эквивалентно, такое tn, которое максимизирует Piiyт)/Ро{ут)¦ Верхнюю границу вероятности ошибки для этого декодера по максимуму правдоподобия можно получить с помощью той же последовательности рассуждений, как в доказательстве теоремы 5.6.1. В частности,
Ре, т = S Pi (Ут)Рг (ошибка | т, ут) dym, (8.6.16)
где Рг (ошибка |т, ут) — вероятность ошибки при условии, что передано сообщение т и принята некоторая последовательность ут. Для заданного ут пусть Ат- — событие, состоящее в том, что
Pi (У)п') Pi (Ут) 6 17)
Ро (Ут') ^ Ро (Ут) '
Ошибка происходит тогда и только тогда, когда событие Ат> произойдет при некотором т! и, следовательно,
Рг (ошибка | т, угп) ¦= Р ( U АтЛ <
\т'Фт )
2 Р (Ат’)'}? для любого р, (8.6.18)
I mV-m J
0<Р<1,
450
где было использовано (5.6.2) и все вероятности в правой части являются условными при заданных т и ут. Строя границы тем же методом, как и при выводе (5.6.8), получаем
Р (Ат’) = J Ро (Ут') dym- <
Р. (Ут') ^ Pi (Ут)
Ро (Ут') Ро (Ут)
~Р\ (ут‘) Рй (ут) ’/о-гр)
dy,,
(8.6.19)
Ро (ут>) Р1 (Ут).
