Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
- 0
f А (/)_________
\ 1+р + рЛ (/)
1
д’1 Е0 (р, S, 6)
- 0
1 + р + р^ (/) --Л- (/)
df> 0, (8.6.31) df < 0. (8.6.32)
dpi J [1 + Р + рА (I)]2 (1 + р)
Определяя E(R, S, 0) как
шах [— pR +- Ё0 (р, S, 0)],
о < р < 1
можно получить обычные параметрические уравнения, связывающие R и E(R, S, 0).
R = Q
Я
A(f)
1 + Р + рА (/)
¦In
1 +
АЦ)
Е (R, S, 0) = 0 jjln
1
рЛ (/)
1 + Р
1 + Р + рА (/) _ РА (/)
1 + Р + рА (/)
df, (8.6.33) )df. (8.6.34)
Эти уравнения справедливы при 0 ^ р ^ 1, а для R, меньших, чем значение, определяемое (8.6.33) при р = 1, имеем
E(R, S, 0)--О j [2 In 1 + A(f)
In [1 +A(f)]\df—R. (8.6.35)
Пропускная способность C(S, 0) при заданных коэффициенте занятости и мощности определена как R, задаваемая (8.6.33) при р = 0,
C(S, 0) = 0${Л (f)-In [1+A (f)]}df :
0
So (/)
(Wo
-In
1
So (/) OiVo
df.
(8.6.36)
Используя те же рассуждения, как и в § 5.6 [или непосредственно рассматривая (8.6.34) и (8.6.35)], нетрудно заметить, что E(R, S, 0) > 0 при всех R < C(S, 0).
Наконец, определим пропускную способность канала C(S) при заданной мощности S как верхнюю грань C(S, 0) по 0 > 0. Легко видеть, что эта верхняя грань задается формулой
С (S) = lim С (S, 0) = f df = S/N0, (8.6.37)
0-^0 J N0
где o(/) нормирована равенством j o(f)df ~ 1.
Этот результат является интересным и неожиданным, так как он утверждает, что пропускная способность такого канала совпадает с пропускной способностью неограниченного по полосе частот гауссовского канала, в котором имеется ограничение на мощность S и в ко-
453
тором действует аддитивный шум со спектральной плотностью N0/2. Для любой R < C(S) значение 0 можно выбрать столь малым, что R < C(S,0). Для этого коэффициента занятости вероятность ошибки убывает экспоненциально с Т'.
Для того чтобы установить обратный результат, т. е. то, что надежная передача невозможна, если R > C(S), представим канал как последовательное соединение двух каналов, первый из которых будет диспергирующим каналом с замираниями, а второй будет каналом с аддитивным белым шумом*0. Так как средняя мощность на входе второго канала с аддитивным шумом ограничена S, то средняя взаимная информация в секунду, передаваемая по нему, не превышает S/N0. Из (2.3.19, б) следует, что средняя взаимная информация в секунду, передаваемая по всему каналу, не превышает S/N0. Следовательно, теорема 8.5.2 применима также к этому каналу. Отсюда можно увидеть, что рассуждения, приведенные выше, не зависят от особенностей анализируемой модели канала, и для них существенны только мощность белого шума, ограничение на мощность принимаемого сигнала и независимость белого шума от остальной части канала и сигнала.
Эти результаты можно представить в виде следующей теоремы.
Теорема 8.6.1. Для модели канала, определенной в тексте, примыкающем к равенствам (8.6.5) и (8.6.6), при дополнительном условии, что a(f) ограничена и интегрируема, пропускная способность канала при ограничении на мощность S задается формулой C(S) = = S/N0. При любой R < C(S) можно получить сколь угодно малую вероятность ошибки, взяв время передачи Т' достаточно большим и коэффициент занятости достаточно малым. При R ~> C(S) применима теорема 8.5.2. Для любого заданного коэффициента занятости 0, для любого s > 0, для всех достаточно больших Т' и для любой R <
< С (S, 0) код с М = \~eT'R 1 кодовыми словами имеет вероятность ошибки, удовлетворяющую при всех m, 1 ^ М, неравенству
Рв1 т < ехр {-Г [Е (R, S, 0) — б]}, (8.6.38)
где E(R, S, 0) задается соотношениями (8.6.33) и (8.6.35).
Сформулированные результаты не означают, что код, образованный разнесенными по частоте синусоидами, в каком-либо смысле минимизирует вероятность ошибки, которая может быть достигнута в рассматриваемом канале. Однако если не ограничиться синусоидами, то можно получить способ воздействия на выбор собственных чисел {Х7-} в (8.6.23). В случае, когда допустимо полное управление выбором Xj, при условии, что HXj = S, Кеннеди (1964) показал, что имеется оптимальное значение Х}-, скажем ЯорЬ зависящее только от р, и что .Ео(р> Т) максимизируется на таких ij, среди которых SAopt равны Яор( и остальные равны нулю.
*} В действительности для заданной модели второй канал следует рассматривать как 2М параллельных каналов с белыми гауссовыми Шумами, имеющими спектральные плотности N0 и общую мощность на входе 2S (т. е. 5для1>!, тп(0 и S для v2l m(t)). При этом получается тот же результат, что и выше.
454
