Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
итоги и выводы
В этой главе были рассмотрены два частных класса непрерывных по времени каналов. Первый класс составляли каналы, в которых переданный сигнал сначала фильтровался, а затем складывался со стационарным гауссовым шумом. Фильтр можно рассматривать либо как частотное ограничение на входе, либо как часть канала. Второй класс составляли каналы, в которых передающая среда была диспергирующей и изменяющейся во времени.
В первом параграфе было показано, как представить. функции времени и гауссовские случайные процессы с помощью ортонормальных разложений. Наше представление гауссовских случайных процессов было там не совсем обычным, так как мы определяли процесс через линейные операции над процессом, а не через совместные распределения процесса для всех конечных множеств моментов времени. Этот подход имеет те преимущества, что позволяет удовлетворительно с точки зрения физики описывать белый шум и избежать все математические тонкости и трудности, которые возникают при переходе от точечного описания к описанию с помощью линейных операций. В § 8.2 исследовалась оптимальная вероятность ошибки и оптимальный приемник множества ортогональных сигналов в белом шуме. Было показано также, что эти результаты могут быть непосредственно преобразованы в результаты для симплексного множества сигналов.
В § 8.3 дан эвристический вывод выражения для пропускной способности канала с фильтром и аддитивным стационарным гауссовым шумом. В § 8.4 и 8.5 это исследование продолжено со строгим анализом пропускной способности и верхних границ для минимума достижимой вероятности ошибки. Однако проведенный анализ не был полным; в нем не учитывалась интерференция между последовательными кодовыми словами. Последняя задача остается открытой для исследования.
В § 8.6 сначала была разработана математическая модель для передачи сообщений с помощью кода, образованного разнесенными по частоте синусоидами, по диспергирующему каналу с замираниями и аддитивным стационарным белым гуссовым шумом. Затем были выведены экспоненциальные границы вероятности ошибки для этой модели канала при использовании указанного класса кодов, и было показано, что пропускная способность канала равна S/N0, где S — ограничение на мощность принятого сигнала, a N0/2 — спектральная плотность шума.
ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ
Рассмотренные здесь ортонормальные разложения и интегральные уравнения хорошо освещены в литературе; можно рекомендовать, например, Куранта и Гильберта (1959) и Рисса и Надь (1955). По гауссовским случайным процессам Возенкрафт и Джекобе (1965) и Давенпорт и Рут (1958) написали превосходные книги для инженеров, а Дуб (1953) и Лоев (1955) написали превосходные математические
455
книги. Другой подход к обнаружению сигнала в небелом гауссовом шуме, не использующий ортонормальные разложения, можно найти у Кайлата (1967). Верхние и нижние границы вероятности ошибки для ортогональных сигналов на фоне белого гауссового шума были найдены Фано (1961) и Зеттербергом (1961) соответственно. Пропускная способность каналов с аддитивным не белым гауссовым шумом была найдена Шенноном (1948) и со строгим выводом Пинскером (1957). Пропускная способность и теорема кодирования для рассмотренных здесь каналов с фильтром были получены Холзингером (1964). Изложение § 8.4 и 8.5 весьма близко следует Холзингеру, за исключением доказательств, предложенных здесь для некоторых преобразований, которые ранее проводились формально. Вайнер (1966) провел исследование ряда различных математических моделей для частного случая строго ограниченного по полосе частот сигнала в белом гауссовом шуме и вывел для них теоремы кодирования. Его выводы создают дополнительную уверенность в том, что результаты являются нечувствительными к малым изменениям модели. Рут и Варея (1967) рассмотрели обобщение предложенной здесь модели, когда фильтр и шум недостаточно известны.
Кеннеди (1969) предложил хорошо написанную и значительно более полную разработку надежной передачи по диспергирующим каналам с замираниями и вывел верхнюю и нижнюю границы вероятности ошибки для более широкого класса систем связи. Результаты, указанные здесь, принадлежат главным образом Кеннеди. Верхняя граница вероятности ошибки, задаваемая (8.6.22) и (8.6.23), была выведена независимо Юдкиным (1964) и Кеннеди (1964), а Пирс (1961) ранее нашел выражение для Р е< т при М = 2 для эквивалентной задачи разнесения, когда все были равны. Результат, что С (S)= S/N0, впервые был получен (без какой-либо сопутствующей теоремы кодирования) Джекоб-сом (1963). Витерби (1967) также рассматривал случай, разнесенных по частоте синусоид, изложенный здесь, и получил верхнюю и нижнюю границы для Рс, т, в которых показатели экспонент совпадают в областях, где справедливы формулы (8.6.33) и (8.6.34). Ричтерс (1967) распространил результаты Кеннеди на случай, когда вход канала имеет ограниченную полосу частот. Он показал, что полоса частот, требуемая для надежной передачи, быстро возрастает при приближении скорости к С (S), однако при малых скоростях и умеренных полосах частот экспонента близка к результату, соответствующему бесконечной полосе. Важность этого результата очевидна, так как изученные здесь синусоиды, разнесенные по частоте, требуют полосу частот, растущую экспоненциально с Тх; это ситуация, которая быстро становится физически нереальной.
