Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
ni+P)4^m-i]B Х(Т)>11В' g>.= (1 + Р) BXt (Т) —р ^ (859])
( 0 ; кг(Т)<1/В.
Из (8.5.91) легко заметить, что ^ (1 + р) В и, следовательно,
S 8f < (1 + Р) В S ff, = (1 +р) BST (В, р) Т. (8.5.92)
i i
Из (8.5.92) видно, что при фиксированных Бир для больших Т приближенное выражение в (8.5.90) пропорционально У Т, а также видно,
442
что приближение становится лучше с возрастанием Т. Отсюда слёдуёФ, что для достаточно больших Т коэффициент в (8.5.89) может быть включен в е. Таким образом, для любого е существует Т2 (зависящее от е, В и р), такое, что для Т ^ Т2
Pe.m^ezpi-TlE'oiB, р)-е]'}. (8.5.93)
Так как значения р ограничены интервалом 0 < р ^ 1, то, так же как в § 7.5, эта граница вероятности ошибки справедлива только в некотором диапазоне скоростей [R = Rx (В)] и мощностей [S = = S^B, р)]. Поскольку функция S^B, р) строго возрастающая и непрерывная по В и р (для В ^ infNiPjllH^f) |2), то при фиксированном S уравнение 5 = 5^(5, р) определяет В как функцию р и это неявно определяет RX(B) как функцию р. При р = О значение RX(B) равно пропускной способности при заданном S, что можно увидеть, сравнивая (8.5.86) и (8.5.87) с (8.5.72) и (8.5.73). Аналогично при р = 0 имеем ЕХ(В, р) = 0. С возрастанием р при фиксированном 5 (а следовательно, при изменении В) R^B) убывает, а ЕХ(В, р) возрастает. Как и раньше, наклон Е как функция R при фиксированном S равен —р. Когда р возрастает до 1, В убывает до критического значения Вст, задаваемого формулой
С 4В [В I Нх (/) I2—N (/)]
S = S00{B,T,\)= - сг fr 1 -----— df. (8.5.94)
I я, , 1 2ВсГ|Я1(/)|*-^(/)
^ N (I) Вег
Соответствующее Вст значение критической скорости задается формулой
Rcr ¦— Roo (Всг) — j 1/э in
} . I Hi (П 1г ч _±
В
СГ N (/)
df. (8.5.95)
N(t)
Следовательно, при фиксированном S граница вероятности ошибки в (8.5.93) справедлива для скоростей из интервала Rcr ^ R < С.
Для скоростей R < R сг и любого заданного Т граница вероятности ошибки задается (7.5.60). Как и выше, переходя к пределу, находим, что для любого е > 0 существует достаточно большое 7\, такое, что при всех 7\ существует код с М=\ ехр (RT)~\ кодовыми словами, каждое из которых ограничено временным интервалом (—Т/2, Т/2), имеет энергию, не большую ST, и
Л™<ехР{“т$°° (Bcr> l) + Rcr—R — e]}. (8.5.96)
Наконец, для границы при процедуре с выбрасыванием, определим величины
?,<S.P)=- У, -4(,Д1?'МГ)-'1, (8.5.97)
' К Т Aj 2B%i (Т) — 1
1 в
443
Из теоремы 7.5.2 следует, что для любого р> 1 и любого В > 0 существует код с М — \ ехр[77?*, Г(В) —2 1п(2еяв/[я)] ] кодовыми словами, каждое из которых ограничено во времени интервалом (—772, Т/2), имеет энергию, не большую TSX (В, р), и вероятность ошибки, удовлетворяющую неравенству
ре,т<е*Р 1 — ТЁх (В, р)]. (8.5.100)
Для фиксированных В и р можно применить лемму 8.5.7 к (8.5.97)
и затем к (8.5.99), чтобы получить
Sx, со (В, р) = lim Sx, т (В, р) =
Т-'Оо
Г (8.5.101)
N (f) В
Rx, оо (В) = lim Rx, т (В) =
Т со
= Г — In (8.5.102)
| я, (j) |« , t 2 25 | Hi (/) |2 N (/)
N (f) В
Ёх „ (В, p) ^ lim Ёх T(B, P) = -^-y— — . (8.5.103)
T^oo ’ 45
Если определить
Rx,t(B, p)^R''T(B)-—ln^—, (8.5.104)
т ц
то из тех же соображений, которые были использованы при переходе от (8.5.90) к (8.5.92), ясно, что
Rx.oo (В, р)= lim Rx, т {В, р) =Rx,oo(B). (8.5.105)
Т-*-оо
Наконец, применяя (е, б)-технику, использованную в теореме 8.5.1, получаем, что для любого В > 0, любого р > 1 и любого произвольно малого е > 0 найдется Тг, такое, что при Т ^ Тг существует код с М = [ ехр [TRX Х(В, р)]-] кодовыми словами, каждое из которых ограничено во времени интервалом (—772, 772), имеет энергию, небольшую SXtX(B, р), и вероятность ошибки, удовлетворяющую неравенству
, тп ^ ехр { Т \Ех, оо (В, р) б] j. (8.5.106)
Для фиксированной мощности S = SXt р) при возрастаний р от 1 значение В убывает от В сг [определенного равенством (8.5.94)1 и стремится к
