Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 8.6.1. Диспергирующий канал с замираниями.
такого канала определяется (с точностью до нормирующего множителя) как средняя по времени мощность, принятая в частотном интервале, расположенном около частоты /с + /, и относящаяся к слою, вносящему задержку т. Функция рассеивания обычно нормируется так, чтобы j j <т(т, f)drdf = 1. Здесь молчаливо принимается, что ст(т, /) не зависит от /V, обычно это предположение достаточно хорошо соблюдается для широкого диапазона /с.
Если имеется большое число рассеивающих слоев, двигающихся более или менее случайно относительно друг друга, и если можно пренебречь многократным рассеиванием от одной частицы к другой, то можно рассматривать принятую функцию, порожденную фиксированным входом, как сумму весьма большого числа более или менее независимых функций, дающих малые приращения. Разумно поэтому предположить, что для каждого фиксированного входа выход является гауссовским случайным процессом. Если при этом предположении передано Л cos 2я/с t, то принятая функция (в отсутствии аддитивного шума) может быть представлена в виде
r{t) = Vi(t) cos2nfct v2(t)sir\2nf ct, (8.6.1)
где v^t) и v2(t) — гауссовские случайные процессы. Если предположить далее, что среда статистически стационарна и что фаза сигнала, приходящего от каждой отражающей частицы, равномерно распре-
447
делена между 0 и 2л, то можно показать, что v±(t) и v2(t) имеют одну и туже спектральную плотность. Кроме того, если функция рассеивания удовлетворяет условию а(т, /) = а(т, — /), то v^t) и v2(t) статистически независимы. Наконец (предполагая, что /с много больше, чем любой допплеровский сдвиг), приемник может наблюдать v±(t) и v2(t) раздельно.
Пусть S<j(f) — спектральная плотность v^t) (и v2(t)) и а(/) нормирована, j' o(f)dt — 1. Можно заметить, что S — средняя мощность принятой функции rit) и что a(f) = j а(т, /) dx, где а(т, /) — функция рассеивания, определенная ранее. Средняя мощность S зависит от канала и, конечно, она также прямо пропорциональна мощности передатчика А2/2.
Исследуем теперь вероятность ошибки, которую можно достичь при кодировании в указанном выше канале. Для того чтобы сделать анализ по возможности более простым, рассмотрим случай, когда кодовые слова представляют собой множество разделенных по частоте синусоид на фиксированном интервале времени (—Г/2, Г/2), т. е.
Предположим, что А выбрано достаточно большим, так что а(/) = О для | / j > А/2. Будем считать, что в приемнике имеется набор параллельно соединенных фильтров с единичным усилением и полосой частот каждого фильтра А и т-й фильтр настроен на частоту /с + А т. Если теперь рассмотреть принятую функцию как сумму сигнала и белого гауссова шума со спектральной плотностью NJ2, то выход каждого фильтра на посланное сообщение т. можно представить в виде
В этих выражениях nVm(t), n2t7ll(t), п\,т' (t) и п2,т' (0—независимые стационарные гауссовские процессы с нулевыми средними, имеющие спектральную плотность N0 при {/1 А/2 и 0 при | / | > А/2.
Так как нас интересует главным образом нахождение верхней границы вероятности ошибки для системы и так как шум при |/|> А/2 всегда несуществен, то модель можно упростить, предположив, что все указанные выше шумы являются белыми со спектральной плотностью N0.
Процессы и У2,т(0 из (8.6.3) не стационарны, так как вход
sm(t) ограничен во времени интервалом (—Г/2, Г/2). Вместе с тем, если ввести параметр L, как разброс в задержке, вызванной как средой, так и фильтром приемника, и если подходящим образом сдвинуть начало отсчета времени приемника, то можно утверждать, что выход на интервале [—(Г — Ь)!2, (Т — L)/2] не будет зависеть от того, является ли вход усеченным вне интервала (—Г, Г) или нет. Другими словами, и v2tTn(t) на интервале [ —(Г — L)!2, (Г — L)/2] можно рас-
448
A cos 2л (fc-\-Am)f, —Г/2^/^Г/2,
О ; \t\> Г/2.
(8.6.2)
Ут (0 = К т (0 + «1, т (01 C0S 2л (/с + Лт) * +
+ К т (О -Г «2, т (01 Sin 2jt (fc + А/П) (8.6.3)
Ут' (t) = «1, т' (0 COS 2Я (/0 + Am') t +
+ «2, т’ У) s>n (fc~h Am') t для всех т' Ф т. (8.6.4)
сматривать как выборочные функции независимых стационарных случайных гауссовских процессов со спектральными плотностями So(f).
До сих пор наши рассуждения были эвристическими и приближенными, что было естественно, так как мы имели дело с классом недостаточно точно определенных физических каналов. Теперь, однако, имеется математическая модель, с которой можно работать, и начиная с этого места рассуждения будут точными. Вновь дадим краткое описание модели; имеем множество М кодовых слов длины Т, задаваемых (8.6.2). Приемник наблюдает функции г/1т(г!) и у2,т(0для 1 ^ tn ^ М, где если передано сообщение т, то
yi,m(t)^vUm{t) + nUm{t)\ 1 = 1, 2, (8.6.5)
