Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Km -тЕМ^Нт^ЗМГ). (8-5.63)
Г->оо I i Т -+ОС 1 i
Доказательство. Используя (8.4.24), имеем Т
2 Иг СП =-^г ^ Кт V’ х) dt dx = ^ Ki {t) dt. (8.5.64)
Так как А,г(7) ^ Иг(Л, Т0 Для доказательства леммы достаточно показать, что для каждого е > 0
lim Ко, r(t, т) dt dx ^ J /Ci (0 dt—е. (8.5.65)
Для Ко, г, задаваемого (8.5.13), положим Ki(x) равным и(т) из предыдущей леммы, и из (8.5.13) видим, что Ki(t) — Ко, r(t, 0) играет роль ZV, т(х). Так как N(j) = 0, когда УN(f) — 0, то предыдущая
*> Это следует из теоремы Рисса — Фишера (см. Рисс и Надь (1955)).
437
лемма утверждает, что Ко, г(0 0) стремится к Kx(t) при Т, стремящемся к бесконечности, и для любого е > 0 можно выбрать Тъ так, чтобы
Следовательно, Ко,т (t + т) является проекцией Kx{t) на множество функций ¦б'г, r(t + т)- Остаток [т. е. часть Kx(t), ортогональная ко всем ’’Э’г, т{^ т)] согласно предыдущей лемме, также ортогонален ко всем
¦О;, ге(0. если Т ^ Те + 2 |т |. Таким образом, энергия остатка ограничена сверху энергией остатка разложения Kx(t) по функциям множества {ftije(t)}. Из (8.5.66) вытекает, что эта энергия ограничена сверху е и
Неравенство (8.5.68) справедливо в области значений т, указанной в правой части (8.5.69). Теперь имеем
Переходя к пределу в (8.5.70) при Т оо, получаем (8.5.65).
Если шум в канале белый, то Ко, t{U т) задается (8.5.14) и непосредственно видно, что (8.5.68) опять удовлетворяется для любого е > 0 и достаточно большего ТЕ. Таким образом, как и ранее, получаем (8.5.63). ]
Теперь следующая лемма связывает полученные результаты вместе.
Лемма 8.5.7. Пусть для канала рис. 8.5.1 Т0 = 7' и предположим, что F(f) = |Hx(f) \2/N(f) —ограниченная и интегрируемая функция. Пусть g(x) — неубывающая функция ограниченного наклона, определенная при х > 0, и g(0) = 0. Тогда собственные числа 'ki(T) фильтра Ko{t,T) удовлетворяют соотношению
Доказательство. Пусть В — верхняя граница наклона g. Тогда, так как Xt(T) ^ МЛ- т0
\Kl,T{t,0)dt>\K\{t)dt-f, 7’>7’е.
(8.5.66)
Далее выпишем
Ко,Т (t + т, т) = 2 fit,т (t -г X) Г §/, т (tx + т)Кг {tx) dtx. (8.5.67)
i J
\Kl,T{t + x,%)dt^\K\{t)dt-z) Т^Тй + 21xj, (8.5.68)
T/2 oo
(8.5.69)
±^Kl,T(t,T)dtdT^{T-^)\^K\(t)dt-z\. (8.5.70)
(8.5.71)
0 [Ц, (T)]-g [Ц (7)] < В (T)-kt (Г)],
438
Q<-^Ilg[MT)]-^rIlgiK(T)\< i i 1 i
* i i
Из леммы 8.5.6 следует, что
lim
Т —> 00
{¦у 2 г 1М-/ (Л1 —СOl) = о •
Это равенство в сочетании с леммой 8.5.3 завершает доказательство. |
Теперь можно использовать эту лемму для нахождения пропускной способности канала рис. 8.5.1 при ограничении на мощность и найти экспоненциальные границы для вероятности ошибки. Для того чтобы определить пропускную способность канала при ограниченной мощности S на входе, определим сначала Ст как умноженный на УТ максимум средней взаимной информации между x(t) и y(t), когда x(i) и y(t) рассматриваются на временном интервале (—772, 772) и максимизация проводится по всем распределениям вероятностей на входе при условии, что математическое ожидание | x2(i)di не больше, чем ST. Фактически Ст уже было найдено на основе изображенного на рис. 8.5.7 представления в виде параллельных каналов и на основе теоремы 7.5.1. Пропускная способность определяется по формуле
Существование этого предела доказывается в следующей теореме.
Теорема 8.5.1. Предположим, что для канала на рис. 8.5.1 с ограничением на мощность S и с Т0= Т функция |tfx(/)|2/./V(f) ограничена и интегрируема и что или | N(f)df < оо или N(f) — плотность белого шума. Тогда пропускная способность канала С задается параметрически равенствами
Доказательство. Из теоремы 7.5.1 следует, что для множества параллельных каналов на рис. 8.5.7 максимум средней взаимной информации на единицу времени связан с ограничением на мощность S параметрическими равенствами
С = lim Cj.
(8.5.72)
(8.5.73)
г- “У' ’’ I я, ({) |
N(f)
439
т. е. при ограничении на мощность S находится значение В, которое удовлетворяет равенству S = Sr{B), и для этого значения В имеем Ст = СТ(В). Если для заданного В определить функцию
j 0 ; х< 1/В,
(Va log(xB); x^l/B,
то (8.5.74) можно переписать в виде
1
Ст(В)
Т
(8.5.76)
(8.5.77)
Отсюда, используя лемму 8.5.7, имеем
