Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
дополнение;
ской формулы для собственных значений sE^im не существует (таблицы имеются в [2, 311]). При малых у можно построить, ряды теории возмущений [95, 97]:
'/(/+1)—2sym[l(l+l)]-1+. . зфО,
1(1 + 1) + 2у2 "' + 'С+1»-1 + --.. S=O. (ДЛ8>
V ' r (2/-1)(2/ + 3)
film —
Заметим, что из уравнений (Д.1) следует
film = sEjm --= -fiT-m = -s^lm, (Д.19)>
поэтому спиновые сфероидальные функции
sZJm (0, Ф) = -7^ ,SL (6) (Д.20)
у 2п
где sS^im предполагаются нормированными согласно (Д. 13),. можно выбрать удовлетворяющими условиям
A(0, ?) = (-1 Y-sZ]m(n—Q, ф + я); ?& = (-l)s+m_sZilvm, (Д.21)
которые имеют место для спиновых сферических гармоник.
Рекуррентные соотношения типа (Д.6), (Д.7) в случае уф® уже не выполняются, однако существуют формулы связи между гармониками с противоположными значениями спинового веса s [89, 311]:
J?_s+1 X—s+2 ¦ ¦ ¦ Xs s^lrn = sCJm —sSlm, (Д .22)
X-s+lX—s+2- ¦ -XT —s^lm= s^lm s^lm, (Д.23)
где операторы Ss и Zjfs определены формулами (7.11). Значения постоянных С для S= 1/2, 1, 2 таковы:
1/2С= -(d + 1/4)V2; d ^ film + у2-2ут, (Д.24).
1C=[d2 + 4y(m-Y)]n (Д.25)
2С = -J1C'- [(d—2)2 + 36у (т— у)] + (2d— 1) 48у (2у - /л) — 144Y2}1/2.
(Д.26>
Для спиновых сфероидальных функций также выполняется условие полноты (Д.14) при каждом s.
При больших значениях индекса \т\ и параметра у (считаем Уъ = а,(а1т~\) и не слишком больших q = l^\m\ (для рассмотренных в книге приложений представляют интерес два случая а) <7 — 1 и б) «7~|т|1/3) можно аппроксимировать сфероидальные гармоники со спиновым весом с помощью полиномов Эрмита. Идея приближения основана на наблюдении, что при больших. дополнение
279
индексах эти функции быстро убывают с увеличением угла отклонения от экваториальной плоскости а = л/2— 0 (в чем можно убедиться, применяя к уравнению (Д.1) метод В КБ). Вводя новую независимую переменную |=|m|1/2(l—yo2)1/4z и новую ¦функцию U=(I-Z2)lI2sS^im, получим из (Д.1) уравнение без первой производной. Разложив в нем эффективный потенциал по степеням I, будем иметь уравнение
(-d2/dl2+%2+V(D)U = Qw, Q = sE^im — гп2, (Д.27)
где через V обозначены члены, малые при \т \ -»-оо. Если отбросить V, решением (Д.27) будут функции гармонического осциллятора
С/<°> = I т| 1/4(1—уо2)1/82-'/2я"1/4(?!)"1/2ехр(—12/2)Н"(%) (Д.28) '(с учетом нормировки sS^im) и собственные значения равны
Q(0) = m(i_Yo2)i/2(2?+i); ?=о, 1, 2..........(Д.29)
¦Среднее значение®координаты g в состоянии, описываемом «волновой функцией» (Д.28), имеет порядок Уq, поэтому для небольших q в разложении потенциала достаточно сохранить один член (случай а)):
У,=25| |m |-i/2(l+у0)(1-уо2)-3/4, (Д.ЗО)
;а для q~\m\l/z (случай б)) следует удержать три слагаемых V= V1 + V2+ V3:
V2= —Q(0)g2m_2(l—уо2)-1; ,п
V3 = I4Wi (2—у02) (1-у02)-з/2. W-01'
Применяя к этим потенциалам теорию возмущений, найдем поправки к собственным значениям Q и функциям (Д.28), что необходимо из-за сокращения основных членов в вычислениях § 16. Значения функций и их производных при 0 = л/2 следуют из
полученных выражений через полиномы Эрмита с учетом значений последних в точке нуль
Hq(O) = (—\)q/2q\(q/2)\~l, q — четное; #?(0) =0, q — нечетное.
(Д.32)
«Массивные» угловые гармоники спина 1/2 Разделение переменных в уравнении Дирака для массивного поля спина 1/2 в метрике Керра приводит к системе угловых уравнений (20.74), из которых после исключения функций S' получаем при А=еР = 0
(Xy2Xt,* + a|XSi"6 г Xt/2-ay cos2 вЛS= -VS. (Д.33) \ a|x cos O + a J :280
дополнение;
Это уравнение обобщает (Д.1) (при S = 1/2), переходя в последнее при ц = 0. Его решения исследовались в [301, 302]. При а = 0 (Д.ЗЗ) сводится к уравнению для спиновых сферических функций веса 1/2, i/2S;m, соответствующая функция Sr = Sgn(JC)-I^ S;-m. Собственные значения можно связать с полным моментом / частицы спина 1/2 :Я= ±(/+1/2), причем положительные Я отвечают сложению орбитального и спинового моментов / = /+1/2, 1 = 0, 1,2,..., а отрицательные — вычитанию / = /—1/2, 1=1, 2, ... , так что суммирование по всем Я включает как суммирование по значениям орбитального момента, так и по спиновым состояниям
S= ? + S • . . (д-з4>
г=о,/=*г+і/2 г=і,/=г-і/2
Аналогичную классификацию состояний частицы со спином 1/2 можно сохранить и при аФО, собственные значения и собственные функции при этом можно построить в виде рядов по степеням а [301]. Результаты численного интегрирования"уравнения (Д.ЗЗ) приведены в [241, 2].
ESi случае метрики Керра—Ньюмена—де Ситтера угловые функции уже не сводятся (за исключением случая а = 0) к рассмотренным типам, их свойства пока изучены недостаточно. ЛИТЕРАТУРА
1. Зельдович Я¦ Б., Новиков И. Д. Теория тяготения и эволюция звезд. — M.: Наука, 1971.
2. Chandrasekhar S. Thre mathematical theory of black holes. Clarendon Press, 1983.
-3. Teukolsky S. A., Shapiro S. L. Black holes, white dwarfs and neutron stars. — N. Y.: Wiley, 1983.
4. Блэнфорд P. Д., Торн К- С. Астрофизика черных дыр. — В кн.: Общая теория относительности / Пер. с англ. — M.: Мир, 1983, с. 163—216.
