Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
ш=Лі--И!-1 (17)
Параметр о характеризует три возможных спиновых состояния векторной частицы. Для определения мнимой части энергии необходимо, как и в § 19, 20, произвести сшивание построенных решений с решениями вблизи горизонта событий. ДОПОЛНЕНИЕ
СПИНОВЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ, СФЕРОИДАЛЬНЫЕ И РОДСТВЕННЫЕ ИМ ФУНКЦИИ
Разделение переменных в волновых уравнениях безмассовых полей различного спина в метрике Керра приводит к угловым-функциям, являющимся решениями дифференциального уравнения='
[(I-Z2)-HT -f.. + (уг)2—2syz— w2 + ** + 2wsz T sS]m = -Ejm sSjm, L dz2 dz 1 — г2 J
(Д.1)
причем собственное значение задается двумя целыми или;
полуцелыми числами I, |т|</ при целом или полуцелом s соответственно, у — вещественный параметр [9]. Связь sE^im с введенной в гл. II константой разделения X выражается соотношением
,Ц,= Лп—s(s+ \)-2ту + у\ Y=-Offl. (Д.2>
Регулярные решения уравнения (Д.1) существуют при I^s. Для S = O уравнение (Д.1) сводится к уравнению для сплюснутых сфероидальных функций [93], решения которого хорошо изучены [312]. При у = 0 (Д.1) переходит в уравнение для спиновых сферических функций sSim [310], возникающих при описании безмассовых полей в пространстве Минковского методом изотропной" тетрады Ньюмена—Пенроуза [48].
Спиновые сферические функции
В трехмерном евклидовом пространстве введем сферические координаты (г, 0, ф) и тройку ортонормированных векторов е., ев и є,, направленных вдоль соответствующих координатных линий. Рассмотрим преобразования комплексных изотропных векторов е±= (ев±»еф)/У2, касательных к единичной сфере, при повороте на угол гр в касательной плоскости: е+е+ехр(t4p), е_->-->-е_ехр(—їЧр). Ясно, что при таком преобразовании скаляр (М-•е+), где M — некоторый вектор, умножится на ехр(і-ф), проекция на комплексно сопряженный изотропный вектор (М-е_) умножится на ехр(—гф). Говорят, что (М-е+) и (М-е_) есть величины спинового веса +1 и —1 соответственно. В общем случае некоторый скаляр называется величиной спинового веса s, если при описанном вращении репера он умножается на ехр (t'sip). В терминах стереографических координат g=ctg (0/2) ехр (іф) и
на единичной сфере
dP = dO2 + sin2 0с?ф2 = Р-ЧЪ d?\ P = 1/2( 1 + Ц*). (Д.З); :276
дополнение;
операторы 8 и 8*, заданные соотношениями
6^ = 2^-40(/*?,)^]; 3*%, = 2Pi+s[d(P-sr](s,)/or], (Д.4)
превращают величину спинового веса s в величины веса s±l соответственно. В обычных сферических координатах
V дб sin6 dq> j
+ --sctge)= -if+, (Д.5)
V d0 sin6 dq> /
:при этом следует- иметь в виду, что символом 8 обозначаются различные операторы типа (Д.5) в зависимости от спинового веса величины, на которую они действуют, например ( 0*)2ті(«) = =^s-H-S7sTHs), и т. п.
Применяя s-кратно оператор 8 к сферическим функциям '(имеющим спиновый вес нуль), получим спиновые сферические »функции веса S:
Уш (9. Ф) =
(l-s)\ (l+s)\
1/26%m(6, ф); 0<S<1 (Д.6)
(если для правой части (Д.6) написать разложение в ряд (см. :ниже), то эта формула будет применима и при полуцелых s, в этом случае I также должны быть полуцелыми). Нетрудно проверить выполнение для (Д.6) следующих рекуррентных соотношений повышения и понижения спинового веса:
2t sYim- [(/ + s) (l-s+ 1)F s-iYlm, (Д.7)
XtssYlm= -[(l-s)(l + s + 1)р/2 s+1Ylm, (Д.8)
откуда следует, что sYim являются собственными функциями оператора
sYlm = - (I-s) (I + s + 1) sYlm. (Д. 9)
Сравнивая это уравнение с (Д.1), находим собственные значения
SEJ=° = 1(1+1)-, l^\s\. (Д. 10)
При S = O получаем обычные сферические функции. С помощью рекуррентных соотношений и уравнения (Д.9) можно свести •функции высшего спинового веса (при целом s) к сферическим »функциям и их первым производным, например
у -л/SLzM. U
2т (т cos 8) _ / (/ + M у Sin2 6 V 1 '
2т (т — cos 6) d у
' ' : о ' Im
sin0 dQ
(ДЛ1) дополнение
277
Зависимость функций (Д.6) от угла ф, как и обычных сферических функций, дается экспоненциальным множителем:
^=-^.1=-^sSlm (Є). (Д.12)
Нормировочный коэффициент в (Д.6) выбран так, что і
{ A'm(0)sS/m(0Mcose = 6,r. (Д.13)
-jI
•Спиновые сферические функции веса s образуют полную систему »функций на единичной сфере
? ? sY'tm(Q')sYtm(Q) = o*(Q, Q'), (Д. 14)
J=Jsl ш=—і
причем суммирование по / начинается от |s| (рекуррентные соотношения (Д.7), (Д.8) зануляют гармоники с /< |s|). Отметим -также полезное соотношение
і
2 sYl¦ ,Ylm 6fmn,. (Д. 15)
Переписав (Д.6) в терминах координат 0, ф, получим
^('IsKUtim)^
k
Приведем также значения Sim и ее первой производной при 0 = =я/2 (т> 0):
" \ _ Г (2' + l)!(f-w)l
2 ) [ 2(/ + от)!
Slm
[
(21 + 1)(1 — от)!
\ * ! L z і» -(- j rji_
2 'TV 2
1/2 2m Vn
P1L=" + ,^-"+!
2 (/+от)
1/2 2m+1 VrJi
(Д. 17)
Г
Обсуждение связи спиновых сферических функций с d-функциями Вигнера можно найти в [310].
Спиновые сфероидальные функции
Так, в работе [9] были названы решения задачи Штурма— Шиувилля (Д.1) при Y=T^=O и целых или полуцелых s. Аналитиче- :278
