Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
форме - неправильным), то существовала бы только одна инерциальная
система в смысле нашего определения, и по измененному виду уравнения
распространения фронта волны было бы возможно определить скорость
движения (даже равномерного и прямолинейного) всякой другой системы
отсчета относительно этой единственной инерциальной системы
("неподвижного эфира"). Отрицательный результат многочисленных точнейших
опытов, поставленных с целью обнаружения такого относительного движения,
не оставляет сомнений в том, что форма закона распространения фронта
волны одна и та же во всех неускоренных системах отсчета и что,
следовательно, принцип относительности во всяком случае применим и к
электромагнитным явлениям.
Отсюда следует, что преобразование Галилея в общем случае неправильно и
должно быть заменено другим.
Формулированные в предыдущих параграфах общие положения дают всё
необходимое для вывода того преобразования координат и времени, которое
должно заменить собой преобразование Галилея.
Наша задача может быть поставлена следующим образом.
Пусть дана система отсчета, инерциальная в смысле нашего определения (т.
е. в механическом и в электромагнитном смысле, см. § 5). Координаты и
время в ней обозначим через х, у, z, t. Пусть дана другая система отсчета
(с координатами и временем х', у', z', tr), которая движется относительно
данной инерциальной системы прямолинейно и равномерно. Требуется найти
связь между величинами {х', у, z', t') и (х, у, z, t).
Первый шаг в решении этой задачи осуществляется на основании принципа
относительности. Согласно этому принципу, новая система отсчета сама
является инерциальной. Поэтому задача сводится к нахождению связи между
координатами и временем в двух инер-циальных системах. Но эта последняя
задача уже чисто математическая: для решения ее не требуется никаких
дальнейших физических предположений.
•Мы разобьем решение этой математической задачи на два этапа: сперва
докажем линейность искомого преобразования, а затем найдем его
коэффициенты.
§ 8. Доказательство линейности преобразования, связывающего две
инерциальные системы
Из первого условия, характеризующего инерциальные системы (условия
инерциальности в механическом смысле), вытекает, что при переходе от
одной инерциальной системы к другой свойство прямолинейности и
равномерности движения должно сохраняться. Это значит, что уравнения
* ~ *o-f vx(t - to); у=у0 \~Vyit-to)-, z = zd у v. (t -10) (8.01)
32
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[гл. I
должны иметь следствием уравнении
*' - К + К У - О: / --=у'о +- <JУ - ф; 1 2'= <+<(*'-О-
(8.02)
Второе условие для инерциальных систем требует, чтобы из уравнения
1 /д<о\2 7а".\а , (до>\- , (до>у
0,
(8.03)
имеющего место в нештрихованной системе, вытекало уравнение
_L (дцл*
V
с3 \dt')
m
тн
5(r) \2 дР)
0
(8.04)
для штрихованной системы. Это второе условие мы можем, однако, написать в
виде, аналогичном первому условию. В самом деле, из уравнения вида (8.03)
вытекают уравнения (4.08) для лучей, т. е. прямолинейное распространение
света с постоянной скоростью. Это должно иметь место как в
нештрихованной, так и в штрихованной системе отсчета. Поэтому если мы для
точки пересечения луча света с волновой поверхностью имеем
x = x0-l-vx(t - t0); у = Уо4- vy (t -10)\ 2 = V-H',(* -g, (8.05)
где
Vx -f- vf, -f- vi - c-,
то должно быть и
A'' ~ .v' 4- v' (t' - Q; y' = y'u -f-1) (I' - /'); 1
(8.06)
где
z'0 +<У - Q,
/ 2 | / 2 I /2
v 4- v
X I ti ' с
I.
c-.
Таким образом, второе условие сводится к добавочному требованию чтобы в
уравнениях для прямолинейного и равномерного движенш из v1 = с2 вытекало
v'" - с1.
Наша задача состоит в том, чтобы найти самый общий вид функций
х'=Ъ(х, у, с, t), )
у' -U(x, у, г, t), |
? = о. [ ^
У = /4 (X, у, z, t), \
таких, чтобы из написанных выше уравнений для нештрихованных величин
вытекали аналогичные уравнения для штрихованных величин *).
*) Задача эта рассматривалась также Умовым п Вейлем ['J.
^ gj ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛИНЕЙНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 33
Прежде чем перейти к решению этой задачи мы введем более
симметричные обозначения.
]V\b! положим
х - xv у - х2, z = х3 (8.08)
п введем вместо времени пропорциональную ему величину
x0 = ct, (8.09)
физический смысл которой есть путь, проходимый светом за
данное
время. (Таким образом, в новых обозначениях х0 уже
не есть на-
чальное значение координаты х). Искомое преобразование мы напишем в виде
x'f-fdxo' xv х2> %> У - °> Ь 2> 3). (8.10)
Начальные значения величин х0, xlt х2, х3 мы будем обозначать че-
рез -0> '1> ;-2> '3 (и аналогично для штрихованных величин). Введем
произвольную положительную постоянную -у0 и параметр s = ~(t -10)
II положим
Ti = Toy 1. 2, 3), (8.11)
тогда уравнения прямолинейного равномерного движения напишутся
= (8.12)
и наше первое условие будет заключаться в том. чтобы из урав-
нений (8.12) вытекали уравнения
*; = ч + Ф' (i = 0, 1, 2, 3), (8.13)
где и у' - новые постоянные и s' - новый параметр (они
