Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Фок В.А. -> "Теория пространства, времени и тяготения" -> 9

Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.

Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения — М.: Технико-теоретическая литература, 1956. — 504 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaprostranstvavremeniityagoteniya1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 167 >> Следующая

20
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
|ГЛ. I
§ 3. Закон распространения фронта электромагнитной волны
Законы распространения света в свободном пространстве хорошо изучены. Они
выражаются известными уравнениями Максвелла
где Е и Н - векторы напряженности электрического и магнитного поля. Нас
интересует, однако, не общий случай распространения света, а лишь
распространение сигнала, идущего с предельной скоростью, т. е.
распространение фронта волны. Впереди фронта волны все составляющие поля
равны нулю; позади фронта некоторые из них отличны от нуля. Таким
образом, на фронте волны некоторые из составляющих поля терпят разрыв.
С другой стороны, задание поля на некоторой поверхности (движущейся в
пространстве), вообще говоря, определяет, в силу уравнений Максвелла, и
значения производных от поля на этой поверхности. Тем самым определяется
и значение поля на бесконечно близкой поверхности, а скачки поля
становятся невозможными. Это будет не так только в том случае, когда
данная поверхность (ее форма и движение) подчинена особым условиям, при
выполнении которых значения производных от поля не определяются
значениями поля. Поверхность называется тогда характеристической
поверхностью, или проще, характеристикой. Таким образом, скачки поля
возможны только на характеристике. Но так как на фронте волны поле
заведомо терпит скачок, то ясно, что фронт волны должен быть
характеристикой.
Найдем уравнение характеристик для системы уравнений Максвелла.
Пусть значения поля заданы для тех точек и для тех моментов времени,
координаты которых связаны уравнением
В частности, при /== 0 это будут начальные данные. Уравнение (3.02) можно
рассматривать как уравнение некоторой гиперповерхности в четырехмерном
многообразии пространства-времени. То же самое уравнение можно (по
крайней мере, если (grad /)2 > 1) рассматривать как уравнение
обыкновенной поверхности, движущейся в пространстве (см. также § 35).
Пусть на гиперповерхности (3.02) заданы значения некоторой функции
curlH -1^ = 0, divE = 0; с dt
curlE-f = 0, div Н = 0,
(3.01)
t = у/0> У> z)-
(3.02)
(3.03)
§ 31 ЗАКОН РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФРОНТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ 21
Том самым на этой гиперповерхности будут заданы и следующие комбинации
производных по координатам и времени:
& + т!г?, = я! "='.2.3, (3.04,
.Мы обозначили здесь для краткости х, у, z через xv х.2, х.}. Если,
да ,
кроме того, задана производная -, то будут известны и значения
на поверхности всех первых производных от и по координатам и времени.
Возьмем теперь в качестве функции и одну из составляющих
электромагнитного поля,, например Ех, и обозначим значение этой
составляющей на гиперповерхности через Е^ = Ех(х, у, z). Аналогичные
обозначения (значок 0 сверху) введем для других составляющих. Если на
гиперповерхности задано поле, то все величины Е°, Нп можно считать
известными функциями от координат х, у, z. Подобно (3.04), мы будем
иметь, например,
о гку i.a
а также
дЕх 1 дЕх дf дЕ"
тНтЖ-д1 = ^7 "т. Л., (3.05)
div Е + j (grad f'Щ- Div Е°, (3.00)
curl Е+ -
1 С
дЕ
g rad/X?
Curl Еэ, (3.07)
div Н + у (grad/ • = Div Н°, (3.08)
- Curl Н°. (3.09)
curl H-f-
1 с
Srad/XpF
В последних формулах мы обозначили операции div и curl, примененные к Е°
и Н°, большими буквами (Div, Curl).
Заданные шесть функций Е° и Н° не являются независимыми, а должны
удовлетворять двум соотношениям, которые мы сейчас in Iведем.
Умножая уравнения (3.07) и (3.09) скалярно на grad/ и пользуясь
уравнениями Максвелла (3.01), получим
(grad / • Curl Е°) = - у (grad / • ^, (3.10)
(grad/ - Curl Н°) = (grad/ • . (3.11)
С другой стороны, в левых частях тождеств (3.08) и (3.06) первые члены в
силу уравнений Максвелла равны нулю, а вторые члены
22
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[гл. I
совпадают с правыми частями (ЗЛО) и (ЗЛ1). Поэтому мы будем иметь
Div Н° -f - (grad / ¦ Curl Е°) = О, (ЗЛ2)
Div Е° - (grad / • Curl Н°) = 0. (ЗЛЗ)
Таковы условия, налагаемые на заданные функции Е°, Н°. В случае /= const
мы имеем обычные начальные данные, и тогда эти условия сводятся к
очевидному требованию, чтобы и в начальный момент было div Е = 0, div Н =
0.
Пользуясь уравнениями Максвелла, мы можем написать уравнения (3.07) и
(3.09) в виде
§ + [grad/X^] = cCurlH", (3.14)
"^ + [grad/Xf] = cCur!E°- (ЗЛ5)
Умножая эти уравнения векториально на grad/ и пользуясь выведенными ранее
соотношениями, мы можем преобразовать их к виду
(1 - (grad ff) ft = Ёо _ (grad / • Ё") grad /- [grad / X H°[; (3.16)
(1 - (grad ff) = И" - (grad / • H°)grad/-f- [grad / X Ё0]. (3.17)
Здесь мы положили для краткости
Ё° = с Curl Н°; Н° = - с Curl Е°. (3.18)
В правых частях уравнений (3.16) и (3.17) стоят известные функции. Эти
уравнения могут быть решены относительно производных по времени, если
коэффициент при них, т. е. величина 1-(grad/)'J, не равен нулю. Но в
таком случае формулы, аналогичные (3.05), дают и для всех остальных
первых производных от поля конечные значения, а следовательно, самое поле
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed