Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы сравнить между собой уравнения (8.23) и (8.38), удобно писать
(8.38) в виде (8.32) и представить в аналогичном виде также и уравнение
(8.23). Вместо (8.23) мы можем написать
7Г= X АЮ ' (8 -40)
дхк dxi Kl дхт 4
in - О
где
А Й = ^3,т + фЛ"- (8-41>
Чтобы правые части (8.38) и (8.23) были между собою равны, необходимо,
чтобы для всех значков k, I, tn имело место равенство
ГЙ = Аи. (8.42)
откуда
(?fc - 'Ы 'Jlm ~f~ (?г - ^l)Km-ет-?теА! = 0. (8.43)
Полагая здесь k = т., I ф т., получим
= (1 - 0, 1, 2, 3).
После этого, полага? в (8.43) k = I, получаем <рт - 0. Следовательно
^ = ^ = 0 (/=0, 1, 2, 3). (8.44)
Таким образом, правые части уравнений (8.38) и (8.23) могут быть равны
только в том случае, когда они равны нулю. При этом величина Я в (8.39)
оказывается постоянной, а уравнения для /4 приводятся к виду
5 а2Д- = 0. (8.45)
uXjc их^
Мы приходим к выводу, что из совокупности двух условий, характеризующих
инерциальные системы, вытекает, что формулы преобразования, связывающие
координаты и время в этих двух систе-мах, должны быть линейными.
Вопрос о том, что вытекает из каждого из этих условий, взятого в
отдельности [т. е. из уравнения (8.38) в отдельности и из уравнения
(8.23) в отдельности], мы рассмотрим в Добавлении А.
38
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
IГЛ. I
§ 9. Определение коэффициентов линейного преобразования и масштабного
множителя
В уравнение (8.28) для функций /( входит неизвестный постоянный множитель
а. Чтобы учесть явным образом влияние его на вид преобразования, будем
писать паши линейные функции /; в виде
У к
2 ekaikxk
(9.01;
Уравнения (8.28) будут выполняться тождественно относительно а, если
коэффициенты aik удовлетворяют соотношениям
в
V
t = 0
ek°kl'
из которых следует, что будет и
2 eiakfili - еФы-
г = 0
(9.02)
(9.03)
Уравнения (9.01) могут быть решены относительно х(, причем получается
/ t
Хь
(9.04)
- 2 ек&Ы ( г~ &к )•
к-о \Уа
Мы имеем также
dx'02 - (dx't2-f- dx2-f- dxf) - a \dxla - (dx\-f- dx\-f- dxp] (9.05) и
для произвольной функции w
С^)Ч(?)'+(?)'+(?)" =
\дх0/ \dx.J \dx.J .
=к(Э"-((ё)>(ё),+шт <9об>
Очевидно, что множитель а (точнее У а) характеризует отношение масштабов
в штрихованной и нештрихованной координатных системах, причем речь идет о
масштабе, общем для пространственных координат и для времени, так что
изменение его не влияет ни на углы между пространственными направлениями,
ни на значения скорости. Мы покажем, что этот множитель нужно положить
равным единице.
Рассмотрим точку, неподвижную в штрихованной системе отсчета. Тогда
скорость этой точки в нештрихованной системе дает скорость движения самой
штрихованной системы относительно нештрихованной.
^ 0] ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 39
Обозначим составляющие этой скорости (взятые в нештрихованной системе)
через Ул, V.2i Vs. Таким образом,
Vt = ^ = с для dx' = dx'" = dx'" = 0. (9.07)
at cixq i_o
Но мы имеем из (9,04)
dxt - -^ aoi dx'o\ dx'(l = -а00 dx'(l (9.08)
У к У
и, следовательно,
Vi = c^ (1= 1,2,3). (9.09)
* "оо v
Отсюда прежде всего следует, что преобразование (9.01), дающее связь
между координатами и временем в двух инерциальных системах, соответствует
переходу от данной системы отсчета к другой, движущейся относительно
данной прямолинейно и равномерно, как это и должно быть.
Далее из формулы (9.09) следует, что относительная скорость движения
систем никак не связана с масштабным множителем к, а значит и этот
множитель не может зависеть от относительной скорости *). Но при
относительной скорости, равной нулю, достаточно предположить, что в обеих
системах отсчета длина (а также промежутки времени) измеряется одинаковым
образом и выражается в одинаковых единицах, чтобы можно было считать л=1.
При таком, совершенно естественном, условии к будет равно единице и для
любой инер-циальной системы, независимо от ее скорости.
Таким образом, мы можем уточнить наши формулы, положив в них /.= 1.
Вместо (9.05) и (9.06) мы получим тогда
dx'* - (dx'*-f-dxf + dx'*) = dx\ - (1x*-\~dx\-\-dx*) (9.10)
и
" W [WJ ' ' Ws'J'
а прямые и обратные формулы преобразования напишутся:
х% - O-i + 2 ekaikxk>
к = О
xi = 2 екак1 (Хк %•)•
к = О
5) Обычно утверждается, по примеру Эйнштейна, что масштабный множитель
"очевидно" может зависеть от относительной скорости и только от нее. Лишь
затем доказывается, что фактически он от нее не зависит, ибо равен
единице.
(9.11)
(9.12)
(9.13)
40
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[гл
Эти формулы носят название преобразования Лоренца. Они составляют
формальную основу всей теории относительности.
Заметим, что исходной точкой наших рассуждений было требование, чтобы во
всякой инерциальной системе отсчета уравнение распространения фронта
электромагнитной волны имело вид (5.01). Отсюда вытекало, что равенство
нулю правой части (9.11) должно иметь следствием равенство пулю левой
части. Но в результате наложения добавочных условий (о том, чтобы
прямолинейное и равномерное движение переходило в такое же движение, и о
