Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
могут
быть выражены через .старые после того, как будет найден вид функций /,-
).
Второе условие заключается в требовании, чтобы из соотношения То (Т? + т!
+ т|) - 0 (8-14)
вы I екало соотношение
Т/о-(Т^Ч-т;а+т;а) = 0. (8.15)
Само собою разумеется, что уравнения преобразование (8.10) должны
быть разрешимы относительно старых переменных х0, xv х0, хл.
Для этого нужно, чтобы якобиан преобразования на обращался в нуль:
dft
дхк
Переходим к выводу уравнений для функций /(.
3 Дак. 185. В. А. Фок
Ф 0. (8.16;
34
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[гл. 1
Разумея под xi линейные функции (8.12) от параметра л, мы будем иметь
lis aU l/f дхк
k = о
Составим производную
dxi _ _V"_ dx\ т' '
которая по условию должна быть постоянной. .Мы имеем
dft
(8.17)
(8.18)
М:
ftr=-<l___
v., V" 'fc <?*/*
* = 0
const.
(8.19)
Приравнивая нулю логарифмическую производную от этого выражения по .s',
получим
V difi
It -
к, 1=о
Ы и'идхкдх,
V д2/"
2j ',к'' дхц дх,
к, 1=о
V v д!±
^ 'к дхк к = 0
3
(8.20)
V.. .010
,к дхи
к ~ 0
Р этом равенстве аргументами в частных производных от /0 и ft являются
величины (8.12), которые сами зависят от Поскольку, однако, величины ^ в
(8.12) являются произвольными, мы можем рассматривать и х{ как
независимые переменные. [К тому же заключению мы придем, если положим в
(8.20) s = 0 и затем будем писать xt вместо ?.г]. Таким образом,
уравнения (8.20) должны выполняться тождественно относительно у{ и xt.
Как функции от уь выражения (8.20) представляют рациональные дроби.
Однако ни при каких конечных значениях ук все четыре знаменателя в них
[т. е. четыре выражения (8.17) для i = 0, 1, 2, 3] не могут обратиться в
нуль одновременно, так как определитель (8.16) всегда отличен от нуля.
Поэтому каждая из дробей всегда остается конечной, даже если знаменатель
в ней обращается в нуль. Но это может быть только в том случае, когда
числитель дроби делится на знаменатель, так что фактически выражения
(3.20) представляют не дроби, а целую функцию от ук, которую мы будем
писать в виде
2 2 ЪЬ-
1= о
(8.21)
^ gj ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛИНЕЙНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 35
Таким образом, мы имеем
2 w* =2 й 2 (8-22)
к, 1=0 к = о Z=0
Так как это есть тождество относительно yit то мы будем иметь
<8-23'
]У1ы приходим к следующему выводу. Для того чтобы прямолинейное и
равномерное движение переходило в прямолинейное и равномерное,
необходимо, чтобы функции преобразования ft удовлетворяли системе
уравнений в частных производных (8.23), где <Ьк- некоторые функции ОТ Xz,
Х2з -?3.
Найдем теперь условие, которому должны удовлетворять функции /; для того,
чтобы из соотношения (8.14) вытекало (8.15). Вследствие (8.19)
соотношение (8.15) равносильно следующему:
(2*?Г-2(2*Й),=°- <•¦">
ft = 0 г = 1 ft = О
Это уравнение должно быть следствием уравнения
tS - (T?-h Tl-h tD = 0. (8.14)
Так как левые части (8.24) и (8.14)-квадратичные функции от yit то они
должны быть друг другу пропорциональны. Чтобы записать вытекающие отсюда
формулы в более удобном виде, введем четыре величины:
е0=1; е1 = е2 = е3 = - 1, (8.25)
и напишем (8.24) и (8*. 14) в виде
2 *.(tm) йШ=0' (8-26)
i, ft, l=o
3
2"*Т* = °- (8-27)
ft = 1
Полагая левую часть (8.26) пропорциональной левой части (8.27), получим
(8-28)
i = О
где \ - некоторая функция от х0, хл, х.2, х3, а символ Ькг имеет обычное
значение:
8ftz = 0 при k ф /; Зй/с=1. (8.29)
36 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [гл I
Мы выведем из условия (8.28) другое, по форме аналогичное
условию (8.23).
Дифференцируя (8.28) по хт и полагая
#-=2Ьш, (8.30)
илт
будем иметь
2 е*{дхк дхт Щ + дхг дхт Й) ~ (8'31)
i = о
Чтобы получить условие, аналогичное (8.23), положим*)
(8 32)
г= 0
и подставим (8.32) в (8.31). Пользуясь уравнениями (8.28), мы получим, по
сокращении на к,
= (8.33)
Чтобы найти, отсюда коэффициенты Гьи. присоединим к уравнению
(8.33) два других, получаемых из него круговой перестановкой
букв k, I, т:
етТ(tm) 4- егТ\пк = 2okefilm, (8.34)
e*V ml + enFui = 2<PleiA*- (8-35)
Теперь возьмем сумму последних двух из этих трех уравнений и вычтем из
нее первое. Пользуясь симметрией величин Г&ш относительно нижних значков,
мы получим тогда
СтГ/,7 - Ь *?l^rrfimk ~ '?m^krjl:l (8.36)
ИЛИ
FfcZ '?krjhn '~'fJkn: ^mkrtfik^k]' (8.37)
Подставляя это значение в (8.32), мы получаем окончательно
Ml
дхк дхг - 9,2 дхг + 9г дхк e'Ai 2 *m9mдх'ш ' (8'38)
т = 0
причем, согласно (8.30),
= = <8-39>
*) Это всегда возможно вследствие (8.16) и вследствие того, что число
коэффициентов Г?)Н равно числу вторых производных от Д.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛИНЕЙНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
37
Таково условие, вытекающее из требования, чтобы прямолинейному и
равномерному движению со скоростью света соответствовало, после
преобразования, такое же движение.
Но искомые функции ft должны, кроме того, удовлетворять
УСЛОВИЮ
d2fi - с d/,- I , 'df j ,g 234
дхк дхг JJc дхг ¦1 дхк'
вытекающему из аналогичного требования для движения со скоростью, не
равной скорости света.
