Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
том, чтобы масштаб в обеих системах отсчета был одинаков) мы получили
большее: правая часть (9.11) не только обращается в нуль одновременно с
левой частью, но и тождественно равна ей.
§ 10. Преобразование Лоренца
Преобразование Лоренца представляет формулы перехода от координат и
времени в одной инерциальной системе отсчета к координатам и
времени в другой инерциальной системе, движущейся от-
носительно первой прямолинейно и равномерно. Оно может быть
характеризовано тем, что величина
ds1 = dx'2-(dx2 -f- dx'l -f- dx'2) (10.01)
или
(is1 = c°- сit2 - (dx1 -f- df- + dz2) (10.02)
остается при таком преобразовании инвариантной. Самое общее
преобразование Лоренца имеет вид
я
Xi - а* + 2 (10.03)
Zc = 0
где коэффициенты aik удовлетворяют соотношениям
S (10.04)
i-n
== (10.05)
i = 0
Исследуем физический смысл постоянных, входящих в формулы преобразования.
Прежде всего, очевидно, что постоянные члены at соответствуют изменению
начала отсчета для координат и времени. Если мы будем считать, что
в момент времени t = 0 начала координат старой и новой
системы отсчета совпадают, то будет
ai - 0 (/ = 0, 1, 2, 3V (10.06)
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА
41
В дальнейшем мы примем это условие и будем писать преобразование Лоренца
в виде
х' = 2 ekaikxk. (10.07)
ft-о
Физический смысл отношения коэффициентов
% = ТУ< (10-08>
мы уже выяснили. Это есть деленная на скорость света
относительная скорость движения двух систем отсчета.
Точнее, Vt есть соста-
вляющая, взятая в нештрихованной системе отсчета, для вектора скорости
движения штрихованной системы относительно нештрихованной. Так как
формулы обратного преобразования имеют вид
^(=2 VtA, (10.09)
ft = 0 к
то определяемая из формулы
Z = TV'< ЧО.Ю)
величина Vi есть (взятая в штрихованной системе отсчета) составляющая
вектора скорости движения нештрихованной системы относительно
штрихованной.
Полагая в формулах (10.04) и (10.05) ft -1 - 0, получим
аЪ> - (alo+alo+alo)= 1' (10.11)
аоо - (а01 + аю + аоз) = 1 > (10.12)
откуда, в соединении с (10.08) и (10.10), следует
V\+V\ + Vl=Vt +V 2+Vs, (10.13)
V2 = V'2, (10.14)
где под V2 мы разумеем квадрат абсолютной величины скорости.
Это значит, что абсолютная величина векторов относительной ско-
рости в той и другой системе отсчета одинакова - результат, который
нельзя считать очевидным, хотя он вполне согласуется с нашими наглядными
представлениями.
Из уравнений (10.08) и ПО.12) следует
000= .J-=. (10.15)
42 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [гл. I
При корне квадратном нужно взять положительный знак, ибо
dJL
dt
0. (Ю.16)
Отрицательный знак при аоп означал бы изменение направления счета
времени.
Из (10.08) и (10.15) получаем
V,
'о; ¦
У с'-' - V-
и аналогично из (10.10) и (10.15)
(/' = 1, 2, 3) (10.17)
e"=y^=W (/=1'2'3)- (10Л8)
Если в условиях ортогональности положить один из значков равным нулю и
воспользоваться (10.17) и (10.18), мы получим
a00V'i = aiiV1 + aaVa+a№V9 (/=1,2,3), (Ю. 19)
= (г = 1, 2, 3). (10.20)
Если оба значка не равны нулю, то условия ортогональности дают
аИа\к~\- ач%а'&~\~ аЗгаИк ~ 8"+ угу • (10.21)
Введем вместо aik (для /, k-l, 2, 3) новые величины по-
ложив
а" = -в* + ^?Т (10'22)
ИЛИ
"" = -а/к-г(Соо-1)-^* (10.23)
Легко проверить, что вследствие (10.20) и (10.21) будет тогда
аиу1к+у-2^.к + <У.,н7пк = гл. (/, k = 1, 2, 3). (10.24)
Величины чд. представляют, следовательно, коэффициенты трехмер-
ного ортогонального преобразования и могут быть истолкованы как косинусы
углов между старыми и новыми координатными осями, причем в aik
первый значок относится к новым, а второй - к старым
осям. Формулы (10.22) дают вследствие (10.19) и (10.20)
"л V, - *ЙУ2-П *i3V.. = - Vh (10.25)
= -1П (10.26)
§ Ю] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА 43
Последние соотношения можно толковать в том смысле, что вектор V' (вектор
скорости нештрихованной системы относительно штрихованной) и вектор V
(вектор скорости штрихованной системы относительно нештрихованной) равны
по величине и противоположны по
направлению.
Полученные формулы позволяют выразить все коэффициенты преобразования
Лоренца через косинусы a.ik(i, k- 1, 2, 3) и через три составляющие Vv
V.2, V.3 вектора относительной скорости. Так как девять косинусов аш
связаны шестью соотношениями (10.23) и выражаются через три независимые
величины, то всего в преобразование Лоренца входит шесть параметров (не
считая постоянных членов at, которые мы положили равными нулю).
Для коэффициентов и aQi мы уже получили выражения (10.15) и (10.17). Для
коэффициентов ат мы можем взять выражение (10.18) в- котором под Vi мы
должны разуметь его значение из (10.24). Подробнее будет
з
""= "=¦. 2. 3). (10.27,
Наконец, для коэффициентов мы получаем из (10.23):
в" = -"* + (*00-(10.28)
или подробнее
/ 1 | \ Vt у т " (Ю.29)
"* - - 7а - ¦ /---=т~~ 1 ] ps 2л aVl'
\у1-* I ^
Подставим найденные значения коэффициентов преобразования Лоренца в
формулу (10.07) и будем писать в них для наглядности ct вместо х0. Мы
