Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
получим
f = (f - 1 (КЛ -+- + вд) • (10-30)
V 1 +
Что касается пространственных координат, то формулы для них удобнее всего
писать в виде
3
Х{ =z ^ (r)(10.31)
т=1
гле
в
=*w - vj+(-~= - Л ^ S v* (** ¦- ш (10-32>
У1-^
1/2
к=1
44
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. t
Таким образом, общее преобразование Лоренца можно выполнить в два этапа.
Первый этап состоит в переходе от переменных (х,, х." л';!, t) к
переменным (**, х', х1, f"), где х , х], х* определяются из
(10.31), a f совпадает с t' и равно
е = ! ... (t - i(VVH Ч- V>-> + • (Ю-ЗЗ)
У1-^'
Второй этап состоит в переходе от (x'v х*, х*, f) к (х', х', х', f), где,
согласно (10.30) и (10.31),
Х-- = a(lxi-r-a;ox."-^- а(!.хя; С - - Г. (10.34)
Очевидно, что второй этап есть простой поворот пространственной
координатной системы, тогда как первый этап есть переход к системе
отсчета, движущейся со скоростью (Vv V2, V3), причем этот переход не
сопровождается поворотом осей.
Мы могли бц, конечно, сперва произвести поворот осей, а затем перейти к
движущейся системе отсчета.
Обратное преобразование может быть также произведено в два
этапа: во-первых, переход от (х', х', х', t') к (х*, х*, х*,
t*) по
формулам
X/ - о^Х\ -|- сс,(;Х-,-[- ое3^хв: ^ =--: t , (10.Зо)
представляющим простой поворот осей и, во-вторых, переход от (х), Хо, x-
it t*) к (xt, х2, х3, t) по формулам
в
- Д - Л S ^ (xl + V/). (Ю-36)
v1-^ I А=1
i = -7=Ц= (f*ч-^ (^xt + v2xlЧ- V^)), (10.37)
представляющим обращение формул (10.32), (10.33). Прямые и обратные
формулы, связывающие (хь х*>, хв, t) с (х,, х.,, xsj, t), получаются друг
из друга изменением знака скорости Vt.
Заметим, что якобиан этих формул перехода равен единице. Что касается
подстановки (10.34) и обратной ей (10.35), то якобиан этих подстановок
будет равен единице, если они представляют поворот осей в собственном
смысле (не сопровождаемый переходом от правой координатной системы и
левой или наоборот). Отсюда следует, что при условии сохранения
направления отсчета времени и сохранения правой (или левой) системы
пространственных координат яко-
¦ VJ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА
45
биан преобразования Лоренца будет равен единице. В таком случае
преобразование Лоренца принято называть собственным преобразованием. В
дальнейшем мы будем пользоваться только собственным преобразованием
Лоренца.
Поворот осей не представляет, в сущности, перехода к другой инерциальной
системе и поэтому для нас не интересен. Характерные особенности
преобразования Лоренца заключаются в формулах (10.32), (10.33) и обратных
им (10.36), (10.37). Эти формулы упростятся, если выбрать координатные
оси так, чтобы' направление одной из них, например первой, совпало с
направлением относительной скорости 17, Полагая
V1 = V; Vn_=V, = Q, (10.38)
мы получим из (10.32) и (10.33): xt - Vi
? Yt * *
Xi = -3 ; х> - х2; x-s = х.., (10.39)
t - - Л . (10.40)
с-
Обратные формулы получатся отсюда заменой V на - V. Для большей
наглядности мы будем писать х, у, г вместо xv х.2, х3. Заменив звездочку
штрихом, мы получим тогда
/ х - Vt
Y
Yi
c'i
у =у; г = г, ПО.41)
t-Ч
*'=-Т=?==, (10.42)
и, выражая х, t через х', t', _ х' -f VI'
l-Г;
Vx'
V-
С2
у = у'\ z = z', (10.43)
(10.44)
Эти формулы дают частное преобразование Лоренца, которое, однако,
содержит в себе все характерные особенности общего преобразования.
46
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 11. Определение расстояний и синхронизация часов в одной инерциальной
системе отсчета
Прежде чем переходить к обсуждению следствий из преобразования Лоренца,
вернемся к рассмотренному в §§ 1 и 2 вопросу об измерении расстояний и
промежутков времени в одной инерциальной системе отсчета. Мы остановимся
несколько подробнее на понятии одновременности в разных точках
пространства и на вопросе о синхронизации удаленных друг от друга часов.
Расстояния между телами, неподвижными в одной инерциальной системе
отсчета, могут измеряться различными способами: путем непосредственного
наложения масштабов (измерительных жезлов), путем триангуляции и путем
радиолокации. В первом способе используются только свойства твердых тел;
во втором способе используется, кроме того, прямолинейность
распространения света; в третьем способе существенную роль играет
скорость света, которая предполагается известной. Само собою разумеется,
что во всех трех способах предполагается справедливость евклидовой
геометрии; если бы евклидова геометрия была не верна, то, например,
триангуляция, произведенная по различным путям, привела бы к
противоречивым результатам. Мы уже подчеркивали в § 2, что справедливость
законов евклидовой геометрии следует рассматривать как опытный факт, а не
как априорное допущение.
Все три способа измерения расстояний основаны на свойствах твердых тел и
на свойствах света. Так как свет представляет более простое явление, то
его следует рассматривать, как первичное, и проверять, например,
неизменность эталона длины оптическим путем (определяя число длин волн,
