Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
будет на поверхности (3.02) непрерывным. Чтобы там был возможен разрыв,
необходимо обращение в нуль коэффициента при производных по времени. Это
приводит к условию
(grad /)¦=!, (3.19)
при выполнении которого данная поверхность будет характеристической. Если
мы будем писать уравнение поверхности, не решая его относительно С а в
виде
ш(х, у, z, t) = 0, то уравнение характеристик (3.19) примет вид
X (S)!-(grad"0J^u-
(3.20)
(3.21)
§ 41 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЛУЧЕЙ 23
Таким образом, распространение фронта электромагнитной волны
подчиняется уравнению (3.21).
В частности, уравнению (3.19) или (3.21) удовлетворяют функции
*=1(в* + р.у-Иаг) ("а + ра + та=1); (3.22)
* = *о + iy (X - х0? + (зГ=Уо)'2 + (г - *")". (3.23)
Первая - дает плоскую, а вторая - сферическую волну.
§ 4. Уравнения для лучей
Уравнение распространения фронта волны может быт написано
в виде
% + 0. (4.01)
(Для определенности мы выбрали перед корнем знак плюс.) Оно имеет '! от
же вид, как уравнение Гамильтона - Якоби в механике, причем со играет
роль функции действия S, а производные тх, <ov, ш2 - роль "моментов" рх,
ру, pz. Гамильтоновой функции здесь соответствует выражение
H=cVa% + (4-02)
Траекториям будут здесь соответствовать лучи. Уравнения для лучей будут
аналогичны уравнениям Гамильтона. Они напишутся
~ = ^ = с и т. д.; (4.03)
dt dw* v4+">*+">;
^^2 = -и т. д. (4.04)
dt дх
С равнения (4.04) показывают, что величины ay., <s>y. "у вдоль
луча
постоянны (они могут, конечно, меняться от луча к лучу). Отсюда
следует, что лучи будут прямыми
х - Xq = с^(/ -10) и т. д. (4.05)
* + юу "4" "г
При изменении знака со (а значит и <ох, оу) направление луча меняется на
противоположное; знак ш должен быть выбран в соответствии с заданным
направлением (ориентацией) луча.
Всякая волновая поверхность может рассматриваться, как образованная из
точек, движущихся со скоростью света по лучам (4.05).
Это дает возможность построить волновую поверхность для момента времени
t, когда известен ее вид для момента времени
24 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [гл. I
Пусть уравнение волновой поверхности для момента времени t0 имеет вид
0)0(хо> Уо' 2о) - °> (4.06)
где х0, у0, z0- текущие координаты на поверхности. Зная уравнение
поверхности, мы можем вычислить величины
ш°
а(хп, У0, гЛ - ( . -¦=) и т. д., ( + .07)
0 ° ° \|/ш°*+(ио;+(и"г/о
' X ' У ' Z
причем знак правых частей определяется из заданного направления
распространения волны. Уравнение луча, проходящего через точку х0, yQ, г0
начальной волновой поверхности, напишется
х - х0 = са(/ -10), I
У- = (a0 + p + f= 1). J- (4.08)
z - z0 = ci(t - t0) )
Величины х, у, z дадут положение точки, в которую перейдет точка хо> Уо'
zo к моменту времени t. Придавая величинам х0, у0, z0 всевозможные
значения, связанные соотношением <в° = 0, мы получим из (4.08) все точки,
лежащие на волновой поверхности в момент времени t.
Если мы решим уравнения (4.08) относительно х0, _у0, zQ и подставим
функции
х0 = х0(х, у, z, t -10) и т. д. (4.09)
в уравнение волновой поверхности ш° = 0, мы получим соотношение
ш(х, у, z, t -10) - 0, (4.10)
т. е. явную форму уравнения волновой поверхности для момента времени t.
Очевидно, что при t = tQ будет х0 = х, v0=_y, z^ - z, и уравнение (4.10)
приведется к (4.06), т. е. к заданному уравнению начальной волновой
поверхности.
Из уравнений луча (4.05) получается соотношение
С* (* ~ V - К* - V 4 (V - л)' -+- 4 - VI - - 0. (4-11)
связывающее координаты начальной и конечной точек па каждом луче.
Уравнение (4.11) представляет уравнение шара с центром в точке х0, у0, z0
и с радиусом R = c(t-10), растущим пропорционально времени. Оно, так же
как и исходное уравнение (3.21), выражает постоянство скорости
распространения света.
Для бесконечно близких точек соотношение (4.11) принимает вид
с2 dt2 - (dx2 + dy2 -j- dz2) - 0. (4.12)
В такой форме оно вытекает непосредственно из уравнений Га-
мильтона (4.03).
Более подробное изложение математической теории характеристик можно
найти, например, в курсе акад. В. И. Смирнова (г. IV).
§ ')] ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 25
§ 5. Инерциальные системы отсчета
В § 2 мы выяснили, что такое система отсчета, и подчеркнули, Ч1'о она
связана с некоторым базисом, снабженным масштабами и часами; этот базис
можно грубо представить себе в виде некоторой радиолокационной станции.
Во всяком случае, "базис" состоит из некоторых материальных тел, которые
как-то расположены и ориентированы в пространстве и как-то движутся.
Всякое явление, в частности явление распространения света и движение
материальных тел, описывается в определенной системе отсчета, т. е. по
отношению к определенному базису. Например, лля описания движения планет
применяется гелиоцентрическая система отсчета с началом координат
(местоположение воображаемого базиса) в центре инерции Солнечной системы
и с осями координат, направленными на три неподвижные звезды
(ориентировка базиса).
В различных системах отсчета математическая форма законов природы будет,
