Небесная механика. Основные задачи и методы - Дубошин Г.Н.
Скачать (прямая ссылка):
очередь требуют применения и новейших достижений математики.
Но ясно, что прежде чем говорить об этих последних достижениях,
необходимо сначала ознакомиться с основными задачами и основными методами
небесной механики.
§ 2. Задача многих тел в абсолютных осях
I. Как было выяснено в предыдущем параграфе, основной задачей небесной
механики является задача о движении системы, состоящей из некоторого
конечного числа материальных точек, взаимно притягивающихся по закону
Ньютона.
Эта задача и называется задачей многих тел, частными случаями которой
являются задачи двух, трех, четырех и т. д. тел, к которым приводятся
задачи о движении различных конкретных небесных.тел *).
Так как для вывода дифференциальных уравнений движения и установления их
основных свойств число материальных точек системы не имеет существенного
значения, то будем считать число этих точек произвольным и обозначим его
через п+1, а материальные точки, образующие систему, обозначим буквами
М0, М,, .... Мя**).
Возьмем теперь некоторую систему прямоугольных декартовых координат
Ofer|? с началом в произвольно выбранной точке О пространства и с
неизменными направлениями осей.
Обозначим массу материальной точки М,- через т,-, а ее координаты (так же
как и в гл. I) через т^, ?,¦ (<= О, 1, 2, ... ... , п). Эти координаты
будут функциями времени t, и наша
*) Правильнее было бы назвать эту задачу задачей о движении многих
материальных т о ч е к, но термин тело будет напоминать нам, что
рассматривается хотя и приближенная, но все же астрономическая задача.
Кроме того, если все тела системы являются шарами, обладающими
сферическим строением, то их движения (поступательные) не отличаются от
движений материальных точек (см. часть I, главы II и V).
**) Точка Мо будет представлять обычно главное тело, которое по каким-
либо причинам играет особую роль. Так, в теории движения больших планет
Мц обозначает Солнце, в теории движения спутников Юпитера Мо обозначает
Юпитер и г. д. Вовсе не обязательно, чтобы главное тело имело наибольшую
массу! В кратной звездной системе примерно с одинаковыми массами за
главное тело может быть выбиана любая из звезд этой системы.
ЗАДАЧА МНОГИХ ТГСЛ В АБСОЛЮТНЫХ ОСЯХ
329
задача состоит, таким образом, в определении 3(/г+1) неизвестных функций
одной независимой переменной.
Дифференциальные уравнения движения системы будут принадлежать к типу
уравнений (6.1), правые части которых составляются по правилам § 3 гл.
Поэтому дифференциальные уравнения движения системы взаимно
притягивающихся материальных* точек напишутся в виде
- т,уп-= Нг. miZi = Zi, (7.1)
где составляющие по осям координат равнодействующей всех сил, действующих
на точку М{, определятся формулами *)
=/ 2,/я' J-0
т
tj-
л?.
ч
Н; = / У nljlTlj
j-0
п
Щ - А?
(7.2)
zi=/ YlmiinJ ~д
о
и С/-Е/
)
где
А,у - АУ/ - Vilj -1/)2 4- 01, - Л,)2'+ (С, - S,)2
(7.3)
есть взаимное расстояние между точками /И,- и Mj.
В главе 1 было показано, что составляющие силы, действующей на точку Ми
т. е. величины (7.2), являются частными производными по координатам этой
точки от одной и той же функции, называемой силовой функцией системы, U,
которая определяется формулой
ыо у-о
Таким образом, имеем
ди
Н,=
dU
~ " % ' и уравнения (7.1) напишутся в виде
Щ'Ъ
п dU l~ dti '
dU а _ dU дщ ' т(tm) - dti
(7*4)
(7.2')
(7.1')
*) "Штрих" при знаке суммы обозначает, что при суммировании должен быть
пропущен член, для которого j=i.
330
УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
Уравнения (7.1) или (7.Г) представляют собой систему 3(л+1) совместных
дифференциальных уравнений второго порядка, определяющих неизвестные
функции - абсолютные координаты движущихся материальных точек.
Для полного определения функций, удовлетворяющих уравнениям (7.1),
необходимо еще знать начальные условия, т. е. числовые значения этих
функций (координат точек) и их первых производных (составляющих
абсолютных скоростей точек) для некоторого момента времени to,
принимаемого за начальный (начальная эпоха или просто эпоха).
Эти начальные значения должны быть заданы и составляют систему 6(я+ 1)
действительных чисел
определяющих начальное состояние нашей системы
Общее решение системы (7.1) представится формулами вида
и задача о движении системы взаимно притягивающихся точек приводится к
следующей математической задаче:
Определить функции т^, (?=0, 1, 2, ... , я), удо-
влетворяющие совместно уравнениям (7.1) и начальным условиям (7.5) для
всех значений времени
Отметим, что функция называется определенной в каком-либо промежутке
времени, если известны свойства функции в этом промежутке и установлено
правило, при помощи которого можно вычислять значение функции и ее
производной (или производных) для любого момента времени в этом
промежутке.
Определяя движение системы для t^-to, мы узнаем ее судьбу в будущем.
Чтобы узнать также прошедшую судьбу системы, нужно, очевидно, определить
движение и для t<t$.
