Небесная механика. Основные задачи и методы - Дубошин Г.Н.
Скачать (прямая ссылка):
абсолютных осей и вместе с тем перпендикулярна к вектору момента
количества движения системы. Эта плоскость
*) Полезно отметить, что равенства (7.10') не являются интегралами
ураппеннй движения, так как величины не выра-
жаются конечным образом через координаты и компоненты скорости то'жи Mi,
22 Г. Н. Дубошнн
338
УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
имеет важное значение для небесной механики и называется неизменяемой
плоскостью Лапласа*).
Постоянные интегралов (7.10), называемые обычно постоянными площадей,
также легко определяются по начальным условиям (7.5) очевидными
формулами:
П
с3
и зависят как от начальных положений, так и от начальных скоростей всех
точек системы.
Если мы обозначим величину вектора момента количества движения всей
системы через с, то будем, очевидно, иметь
с = УсрГс1+4
а направляющие косинусы этого вектора будут соответственно
Остается получить последний из классических интегралов уравнений (7.1).
Умножим для этого уравнения (7.1') соответственно на I;, т)г> ?,•> сложим
и просуммируем по i от нуля до п. Мы получим следующее уравнение,
являющееся следствием уравнений (7.1):
S mi "Ь 'П/'П/ + Ид = 2 h % Н" М •
i-о г=<Л * 1 11
что, очевидно, можно переписать в виде
П
/-0
откуда, интегрируя, находим
п
(?л1)
i-o
где h есть произвольная постоянная.
*) Оказывается, что движения всех больших планет солнечной системы
происходят весьма близко от ее неизменяемой плоскости, которая, таким
образом, весьма близка к плоскости эклиптики современной эпохи,
ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ В АБСОЛЮТНЫХ ОСЯХ
339
Равенство (7.11) можно еще написать в виде
П
(7.1Г)
/ = 0
что показывает, что полная живая сила системы
п
п
зависит только от силовой функции, а следовательно, только от взаимных
расстояний между точками Mi, и поэтому не зависит от выбора системы
координат.
Вследствие этого обстоятельства уравнение (7.11) называется интегралом
живой силы (или интегралом живых сил).
Так как, кроме того, величина -U есть потенциальная энергия всей системы,
то, переписав равенство (7.11') в виде
мы видим, что полная энергия системы остается неизменной во все время
движения, вследствие чего уравнение (7.11) называется еще интегралом
энергии*).
Таким образом, движение системы взаимно притягивающихся материальных
точек принадлежит к классу консервативных движений.
Постоянная живых сил (или постоянная энергии) h определяется начальными
условиями (7.5) и мы можем написать
суть начальные взаимные расстояния.
*) Весь этот вывод представляет собой частный случай общего вывода
интеграла энергии произвольной системы уравнений Лагранжа в случае
существования силовой функции (см. § 2 гл. VI).
Т - U = h,
П
где
есть начальная скорость точки Mit а
- начальное значение силовой функции, где
*b=V($ ~ Vi?+К - ЪУ+$ - ЩУ
22*
340
УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
Отметим, что постоянная h заиисит только от начальной конфигурации точек
системы и от величин их начальных скоростей, ио не заиисит от направлений
начальных скоростей.
4. Найденные десять классических интегралов являются единственными
известными до сих пор интегралами задачи многих тел и имеют, как мы
пиделн, простое механическое значение.
Из этих десяти интегралов только три (а именно, вторая группа интегралом
движения центра масс (7.8")) содержат время t явным образом. В остальные
семь интегралов время явно не входит.
Весьма существенным является также то обстоятельство, что левые части
всех десяти классических интегралов суть простые алгебраические функции
от координат и их первых производных по времени.
При этом левые части интегралов движения центра масс (7.8'") суть
линейные функции указанных переменных, а левые части интегралов площадей
(7.10)-билинейные ф у н к ц и и тех же величин *), или целые однородные
функции второй степени. Интеграл живых сил (7.11) является однородно й ф
у н к ц и е и второ й степени относительно составляющих скоростей, по
относительно координат является функцией иррациональной, так как содержит
координаты под знаками квадратных корней.
Знание только десяти первых интегралов задачи является совершенно
недостаточным (при /г> 1) для ее решения, а поэтому издавна
предпринимались попытки найти остальные недостающие интегралы или хотя бы
некоторые из них, кроме классических.
Все эти попытки оставались безуспешными, но продолжались упорно до конца
19-го столетия, пока не выяснилось, что они совершенно бесполезны.
Действительно, в 1887 г. Брунс доказал, что уравнения движения (7.1) или
(7.1') для л = 2 (т. е. для задачи трех тел) не имеют никаких других
интегралов, левые части которых были бы алгебраическими функциями
прямоугольных координат и их производных.
Доказательство Брунса было вскоре распространено французским математиком
Пенлеве на задачу какого угодно (конечного!) числа тел. В 1889 г.
Пуанкаре, рассматривая задачу трех тел, доказал, что уравнения движения
не имеют даже трансцендентных интегралов, выражающихся через однозначные
