Небесная механика. Основные задачи и методы - Дубошин Г.Н.
Скачать (прямая ссылка):
п
(hit + 'П/'П/ + ?/?/) = U2h,
t-0
или в виде
П
^SOT/(s? + T>? + El) = 2f/ + 4A- <7-12)
i=o
Положим
/=2^^?+^ +С?)- (7ЛЗ)
так что / есть момент инерции всей системы материальных точек
относительно начала координат.
Тогда уравнение (7.12) напишется чрезвычайно просто следующим образом:
/ = 2?/ + 4А. (7.120
Уравнение (7.12'), связывающее полярный момент инерции системы с
ее силовой функцией, зависит от выбора системы координат,
так как содержит расстояния г* точек системы до
начала координат О.
Преобразуем теперь это уравнение таким образом, чтобы вместо расстояний
г, в него входили только взаимные расстояния Aij.
Для этого используем следующее алгебраическое тождество, называемое
тождеством Лагранжа и которое легко проверить непосредственно:
ft ft / ft V 2 ft ft
(7-14)
/-0 I-0 \/-0 J I-0 I-0
где a; и Ь{ обозначают какие угодно величины и k есть любое Целое
положительное число.
Полагая в тождестве (7.14) k - ti и заменяя at на Ymr а bit
последовательно, на Ymi ?<• Ymi Л/- Ymt ?/. мы будем
344
УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. V.
иметь три следующие тождества:
п п / п у > п п
& ... П. ,iv
И1 X \ ,ПЁ>\ | nt&i | + 2 И mi,nj(ij I/)2*
i=0 (-0 V"0 J i~0 J-0
n n /it i 2 n n
S mi x 2]=j ^ + i S 2 - Ti')2'
i-о г-о \ь-о / /=о y-o
л n / n \ 2 n n
5] nt x 5] = ( 2 mmj + - J 2 i ^)2>
^ i 1 V ! +2 2d
/-0 i -0 \j-0 / (--O ;-0
складывая которые, получим
/Я/ = /Я 5X $ + Чг + ?j) =-¦ (? МД/) + (s mir\i) 4-
i-0 \'-0 / \t-0 J
+(S"A-) +Tsim""A- <7-is)
\/-o J i-о о
Используя теперь формулы (7.8"), мы напишем равенство (7.15) в следующем
виде:
П П
ml = ^^1 ^-f- b\) -f- b^-\-(aJ + b3f. (7.16)
i-0 j~o
Положим
Л = -яг2 2'"""А (7-17)
:".0 у"0
Очевидно, что /? есть величина, не зависящая от выбора системы координат,
имеющая размерность момента инерции. Теперь равенство (7.16) напишется в
виде
I = i 1(<М + ьу + (а2; + 62)2 + (Оз/ + &з)2] + Я- (7.160
Дифференцируя дважды это равенство по t, найдем
/ = ~п{а\ + а\ + аз) + а исключая из этого равенства и из (7.12')
величину I, получим
/? = 2?/ + 4й', (7.170
УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
345
Уравнение (7.17'), связывающее только взаимные расстояния между
материальными точками и не зависящее поэтому от выбора системы координат,
играет важную роль в качественных исследованиях движении небесных тел н
называется уравнением Лагранжа - Якоби*).
§ 3. Дифференциальные уравнения относительного движения задачи многих тел
Дифференциальные уравнения абсолютного движения взаимно притягивающихся
материальных точек мало удобны для практического использования при
изучении движений реальных небесных тел.
Действительно, формулы, служащие для вычисления эфемерид, должны
содержать численные значения произвольных постоянных интегрирования,
которые в сбою очередь определяются заданными числовыми значениями
координат и их производных в начальный .момент t0.
Но известно, что определить из наблюдений абсолютные координаты и
абсолютные скорости небесных тел принципиально невозможно. Поэтому
пользоваться абсолютной, в строгом смысле этого слова, системой координат
для изучения движений небесных тел мы также не можем. Если же условиться
называть абсолютными координатами числа, определяющие положения небесных
тел в изучаемой системе (например, в солнечной системе) относительно
другой небесной системы, весьма удаленной от рассматриваемой, то здесь мы
сталкиваемся с затруднениями чисто технического характера. В самом деле,
при современном состоянии астрономической техники невозможно определить
при помощи астрономических инструментов координаты планет, например,
относительно системы координат, связанной с Галактикой. Поэтому
пользоваться абсолютными Н в таком понимании этого слова координатами мы
также фактически пе можем.
Астрономические наблюдения дают нам только относительные положения и
скорости небесных тел, а поэтому естественно и удобно ставить задачу об
определении относительных движений.
1. В предыдущем параграфе мы установили, что центр масс системы
материальных точек М0, Мь ... , Мп движется относительно абсолютных осей
координат прямолинейно и равномерно. Это свойство определяет движение
всей сист* мы в целом
Эти свойства рассматриваются п ыоей книге сИсГесная механика. Ап
а.ти.тические и качественные методы", "Наука", 19G4. Одно применение
Формулы (7.17') будет дано в гл. ХШ.
346
УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
и позволяет нам ограничиться изучением движений отдельных ее точек
относительно общего центра масс.
Рассмотрим уравнения движения системы взаимно притягивающихся точек в
абсолютных осях:
m.Hi = S" "Я = Н" = Z,
(/ = 0, 1, 2..............п),
где
s, = fS
"v Ij-h dU т,т, -
j '
dli
(7.18)
(7.187)
зависят только от разностей одноименных координат точек Mi и являются
частными производными от силовой функции
i-0 /-о
Пусть G - центр масс всей системы и §, т|, ? - его абсолютные координаты,
которые в силу интегралов движения центра масс суть линейные функции
