Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Дубошин Г.Н. -> "Небесная механика. Основные задачи и методы" -> 104

Небесная механика. Основные задачи и методы - Дубошин Г.Н.

Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы — М.: Наука, 1968. — 800 c.
Скачать (прямая ссылка): nebesnayamehanika1968.pdf
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110

следующем виде:
2 гп& = av 2 Щ {h - tli) = bv
i-0 n
i-0
2 rnNi ¦¦
t-0
av
2 mi (л, - <t|/) = b.
i-0
n
2'
2 = a3. 2 Щ {li - tit) - bv
i-0
i-0
(7.8"0
называются интегралами движения центра масс (или центра инерции), так как
эти интегралы определяют движение центра масс системы материальных точек
относительно абсолютных осей.
Действительно, обозначая координаты центра масс нашей системы через ?,
т], 'Q, мы имеем
п п п
i = 4 = -^-? = (7-9>
i-0 i-0 i-0
где
п
m = 2rai
i-и
есть полная масса всей системы.
Теперь интегралы (7.8') и (7.8") дают:
э т 1 (2,
? = -?-¦ т
II •|М/> II т
ь2 т ' Г] = Л* т
Ьг t = th-
т ' in
(7.9')
Эти формулы показывают, что центр масс нашей системы точек движется в
абсолютном пространстве прямолинейно и равномерно.
Если Солнце и большие планеты рассматривать как материальные точки,
взаимно притягивающиеся по закону Ньютона и не подверженные действиям
каких-либо других сил, то выве-
ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ В АБСОЛЮТНЫХ ОСЯХ
335
денное свойство показывает, что вся солнечная система в целом движется
относительно "неподвижных" звезд прямолинейно и равномерно. Как известно,
это движение направлено примерно к созвездию Геркулеса и совершается со
скоростью 20 км/сек.
Однако, как уже было отмечено выше (см. сноску на стр. 324), если мы
примем во внимание действие звезд, составляющих нашу Галактику, то
движение солнечной системы уже не может быть рассматриваемо как
прямолинейное и равномерное, а должно трактоваться как равномерное,
круговое, совершающееся вокруг центра Галактики.
Произвольные постоянные Яь а2, о3 и Ьи Ь2, Ь3 могут быть определены (см.
гл. VI, § 1) из начальных условий. Действительно, подставляя в формулы
(7.8"') вместо координат и компонентов скоростей их начальные значения и
заменяя t на to, мы получим
2 т Д?, i~0
2 тт]°> 1=0 &2=2/л;(т1°-^}
2 т$, 1 = 0 ' 1 Ьг = 2] tnt (?9 - t0tiy
Переходим к выводу следующей группы первых интегралов. Умножая второе из
уравнений (7.1') на -третье на +т),-, складывая и суммируя по / от нуля
до п, мы имеем
2 щ - еЯ) = 2 К %¦- ^ S •
i-0 i=o' 1 и
т. е. в силу последнего из равенств (7.6")
2 щ (V?i - сЛ)=о.
1-0
Комбинируя подобным же образом две другие пары из уравнений (7.1') и
используя остальные два равенства (7.6"), мы получим еще два уравнения,
аналогичные первому. Но левые части полученных таким образом трех
уравнений, являющихся следствиями уравнений движения, являются точными
производными по t, а следовательно, интегрируя эти уравнения, мы
336
УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ VIГ
получим следующие три интеграла*):
2 Щ (Л/С, - С/Л/) = cv i-\)
2w,(wt, - U,) = c2, 1-0
S щ (б/Л/
/-и
*!;"/) - ^з>
(7.10)
где cv с2, с3 суть произвольные постоянные.
Уравнения (7.10) называются интегралами площадей или, иногда, интегралами
моментов количества движения (или просто интегралами моментов).
Смысл этих названий заключается и следующем. Рассмотрим общий член какой-
либо из трех сумм в равенствах (7.10), например,
Щ (|,Л/ - 11,1,) = -J* (I, dl\t - Л; dll).
Выражение g/rfi]; - л;^й; представляет собой удвоенную площадь dS'il
элементарного треугольника ONiNt, образованного на плоскости (0|г])
проекциями точек М, и ЛТ,, соответствующими моментами времени t и t + dt
(рис. 41). Тогда последнее из уравнений (7.10) напишется в виде
2 nit dSi\ - c$dt.
*) Дейстонтелмю.
il,Е, - 5,4,.- (Л/fe, -г 'I,?,) - (СЛ 4- ti,s-) - ~!i СА - W
Залетим оше, что любые дна in уравнений (7.10) получаются из третьего
циклической перестановкой букв t|. $•
ЗАДАЧА МНОГИХ ТГЛ В АБСОЛЮТНЫХ ОСЯХ
337
Интегрируя последнее равенство и два других, ему подобных, мы получим,
как следствия интегралов (7.10), следующие равенства:
2 miSQ - c\t + с'и ?-0
И
2 т.1 S~l - Ы + Су,
1-0
(7.100
2 ih'SQ - cj. с¦},
(-0
где cv cv са -три новые произвольные постоянные.
Формулы (7.10') показывают, что с у м мы произведении масс точек системы
на площади, описанные проекциями радиусов-векторов на координатные
плоскости, изменяются пропорционально времени, что и дало повод назвать
уравнения (7.10) интегралами площадей *).
Рассмотрим теперь второе название уравнений (7.10). Если vt есть
абсолютная скорость точки AL, то вектор есть количество движения этой
точки. Момент этого вектора относительно начала координат есть векторное
произзедение Шг^ХГ- вектора количества движения на радиус-вектор уточки
Mi и его составляющие по осям координат суть
Щ (Л/Ci " С А). Щ - hti), nti feA - ti, j,).
Поэтому левые части равенства (2.10) суть составляющие вектора момента
количества движения всей системы материальных точек.
Интегралы (7.!0) показызают, следовательно, что этот вектор остается
постоянным (по величине и направлению) во все время движения. Это
обстоятельство и дало повод для названия уравнений (7.10) интегралами
моментов.
Вообразим теперь плоскость, проходящую через центр масс G системы и
определяемую уравнением
С1(4_4) + са(11-л) + Са(С-С)=0. (7.10")
Очевидно, эта плоскость сохраняет неизменную ориентацию относительно
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed