Небесная механика. Основные задачи и методы - Дубошин Г.Н.
Скачать (прямая ссылка):
времени (см. формулы (7.90).
Перейдем теперь от абсолютной системы координат 0?т|? к относительной,
начало которой возьмем в точке Go- Оси этой новой системы координат
Gg'примем параллельными соответствующим осям старой системы, так что
переход от прежней системы (абсолютной) к новой (относительной)
определяется формулами параллельного преобразования координат*).
Таким образом, если I,-, Лг ^ суть новые координаты точки Mi, то имеем
следующие формулы преобразования:
6, = &;+!. = ?, = ?;+?• (7.20)
Из этих формул следует, что преобразованные дифференциальные уравнения
движения будут иметь в точности такой же вид, как и первоначальные
уравнения (7.18). Действительно, так как величины f, rj, ? суть линейные
функции времени, то их вторые производные тождественно равны нулю, а, с
другой стороны,
- - If
для всякой пары значков / и /.
*) Введенная нами система координат с началом в центре масс всей системы
материальных точек называется иногда "барицентрической" системой, а
координаты т]', - "барицентрическими" координатами,
§ 3] УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 347
Поэтому уравнения относительного движения в барицентрической системе
координат напишутся следующим образом:
m$ = s;, mft = н;, /я? = Ъ\ (7.18')
(t = 0, 1, 2, ..л),
где
у-о
и аналогичные выражения имеем для величин II/ и Z^.
Выражение для силовой функции (7.19) не изменится, а взаимные расстояния
в новой системе координат определятся формулой
=Уй-бу+№-ч;)!+(с
Очевидно, что мы имеем также
я' = н' = - z' = -
* <*?,' ' 1 дщ ' ' dgj '
так что уравнения, определяющие барицентрические координаты, могут быть
написаны еще в виде *)
А-S' "Л-5- (7Л8">
<?е; ' ' Л]) '' <
Уравнения (7.18') и (7.18") имеют такой же вид, как и уравнения (7.1) и
(7.1') соответственно. Поэтому уравнения относительного движения в
барицентрической системе имеют такие же первые интегралы, как и уравнения
абсолютного движения. При этом, к тому же, интегралы движения центра масс
тождественно удовлетворяются, так как в новой системе координат центр
масс совпадает с началом координат G и остается неподвижным.
*) Уравнения (7.18") легко вывести также из уравнений Лагранжа (6.8'). В
самом деле, живая сила Т в новых координатах имеет вид
г-42-.[("+5-Г+("+^),+(в+^Л-
1=0
Отсюда имеем
= 0
дг й (дТ\ -I' дТ
+ -щ-
и, следовательно, уравнения Лагранжа приводятся опить к уравнениям
(7.18"). Следует заметить, что при этом преобразовании роль обобщенных
координат q играют барицентрические координаты.
348
УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
Следовательно, относительные координаты точек системы и барицентрической
системе не являются независимыми и связаны между собой следующими тремя
соотношениями:
о. i>(4;=0' о. (7.2i)
0 i = J i-U
Такими же соотношениями связаны производные (относительные скорости) от
барицентрических координат
51/",!;=о, 2>$=о. (7.210
/-0 ' ' i=О ' i-0
Из этих соотношений мы можем выразить какие-нибудь три из переменных ?',
г]', например, координаты gg, 1]^, Sg точки М0, через остальные, что дает
ss=-ii"*
(-1 ;-i (-1
Исключая при помощи этих формул неизвестные z'0, ti', С' из уравнений
(7.18'), мы получи;.: систему 3/г уравнений второго порядка с 3/г
неизвестными - координатами точек Мь ... , Мп.
Таким образом, порядок преобразованной системы уравнений будет равен 6 п,
т. е. на шесть единиц меньше порядка системы уравнении абсолютного
движения.
Нетрудно убедиться, что преобразованная система уравнений движения может
быть написана в следующем виде:
(mo-r mi)h
т
/2
(т , + mi) 11г +
V
/-1
гч
+ /
V'
1 т; j-i
Ti j "*1/
л3
дIJ
с;=-
{Щ + ";)?/ -Г 2' __________ j-i
nijbj
,V' ?j - ?t
\3
Дл
где
то*% ¦
("V
т
/О
, V' т U*l Jbj
(7.22)
+
+
+
(т0 +
УРЛШ1ШШЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
349
Уравнения (7.22) имеют только четыре первых интеграла, а именно - три
интеграла площадей и интеграл живых сил.
Эти интегралы можно, конечно, вывести непосредственно из уравнений (7.22)
при помощи процедуры, аналогичной (по более громоздкой) той, которая
позволила вывести интегралы абсолютных уравнений движения. Но проще
поступить иначе. Напишем сначала соответствующие интегралы системы
(7.18"), которые, как уже замечено, имеют такой же вид, как и интегралы
уравнений абсолютного движения, а затем исключим из написанных интегралов
координаты и компоненты скорости точки Мо при помощи формул (7.21) и
(7.2Г).
В результате мы получим следующие интегралы:
1
^ туп'- X V mfi} - J] ml'j X ^ '"А
1 j- 1 ; = 1 ] = 1
(-1
1
щ
LJ-1
j-1
1
2т"
S mFi х 2 mj*j - 2 ,ujvj x 2 mFi
J-1
l-l
n
2 x 2 '"A - 2 '"A x 2
y-i
n
+ 'bmX4i-
+('±"лУ-1- Ts-aY
У=1
2*?
+
+
+
(7.22')
w-i
^-1
w-i
II
+ T 2 ^ = U + h'> (7-22")
где C3 и и /г'-- суть произвольные постоянные, опре-
деляемые начальными значениями барицентрических координат и их
производных точек Л4,, .. ., Мп.
Мы видим, что уравнения (7.22) и их интегралы имеют более сложный и
громоздкий вид, чем соответствующие уравнения абсолютного движения.
