Прикладная нелинейная оптика: Генераторы второй гармоники и параметрические генераторы света - Дмитриев В.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Последовательно проинтегрируем (3.2.49):
р
р — AfeT'c (р) = —4v Г ре_2рг dp = v(e-2Pa — 1);
Ф J
о
р
AfeT'c (p)—Ak'c (0) = v j (е-2Р! — 1) . (3.2.51)
о
Вводя переменную интегрирования у = 2р2, перепишем (3.2.51) в виде
2р2
Afe^c(р) — Afexc(0) = j" (3.2.52)
о
Учитывая, что [8]
2р2
Г (q-у— 1) = Ei (— 2р2)— In (2р2) —С, (3.2.53)
J У
о
X
где Ei (х) — J (eyfy)dy — интегральная показательная функция, С — 0,5772 — постоянная Эйлера—Маскерони, по-
3.2. Учет тепловых самовоздействий
15?
лучаем окончательно
Ak'c(р) = Д64 (0)-[In (2р2)-Ei(—2р2) Ч С].
(3.2.54)
Используя вытекающее из (3.2.9 а) соотношение Д&тс (р) — 2зти \Т (р) — Т (р )Уос1юРкр>
(3.2.55)
перепишем (3.2.54) с учетом (3.2.40) в виде
Т (р) — Т (0) = — {<Р1 (0)>6/2ли) I In (2р2) —
— Ei (—2р2) + С]. (3.2.56)
Полагая р = р' и учитывая, что при идеальном тепловом контакте Т (р') = Т0, получаем из (3.2.56) выражение для температуры на оси пучка
Т (0) = Т0 + (<Рг (0)>8/2ли) I In (2р2) - Ei (-2р2) +
+ С]. (3.2.57)
Пусть 6 = 10-2 см-1, и = 2,6 • 10~3 Вт/ (см • К)
(LiNb03), <РХ (0)> = 10 Вт, р'= 2. В этом случае
Т {0) — Т0 = 2 К, что вообще говоря, заметно больше ши-
рины температурной- кривой синхронизма.
Замечания об оптимальной тепловой расстройке. Полная расстройка А& (г) на расстоянии г от оси пучка определяется выражением
Ak (г) = Ak0 + Д?тс (г) = 4яи [Т (г) — Т0)/РКГ). (3.2.58)
Изменяя температуру термостата Т0, можно, очевидно, управлять температурой Т (г) и обеспечивать выполнение условия синхронизма (т. е. равенство Т (г) — Г0 = 0) при разных значениях г. На рис. 3.5, а условие синхронизма выполнено на оси пучка (при г = 0); при этом во всех точках вне оси пучка имеем Ak (г) < 0. На рис. 3.5, б условие синхронизма выполнено при г = /у, Д?<0 при г >гх и М >0 при 0 ^ г < гх.
Из общих соображений можно заключить, что выполнение условия синхронизма на оси пучка не обязательно является оптимальным с точки зрения получения максималь-
158
Гл. 3. Специальные вопросы генерации второй гармоники
Рис. 3.5
ной выходной мощности второй гармоники. Ведь при г = О пучок основного излучения имеет наибольшую интенсивность; поэтому для приосевых парциальных лучей процесс генерации второй гармоники может идти достаточно эффективно даже при Afe (0) Ф 0. Обеспечивая выполнение условия синхронизма при некотором ненулевом значении радиальной переменной гъ можно сделать достаточно эффективным процесс преобразования также и для лучей, отстоящих от оси пучка в пределах rv В результате может быть реализована максимальная мощность второй гармоники. При этом расстройку А/гтс (гх) называют оптимальной тепловой расстройкой. Величина гъ а следовательно, и требуемая температура термостата, могут быть найдены в результате оптимизации зависимости Р2 (Afe (0)).
Приближение заданного поля основного излучения. В этом приближении, характерном для непрерывных одномодовых лазеров с генерацией второй гармоники вне резонатора, решение уравнения теплопроводности (3.2.54) существенно упрощается. Дело в том, что при малых интенсивностях основного излучения, характерных для непрерывной генерации, можно пренебречь вкладом в тепловые эффекты со стороны «крыльев» гауссовского распределения для амплитуды волны. Иначе говоря, можно рассматривать температурное поле лишь вблизи оси пучка. При малых р справедливо соотношение [9]
Ei (—2р2) - In (2р2) + С - 2р2 + р4 — ...
(3.2.59)
3.2. Учет тепловых самовоздействий 159
Пренебрегая в (3.2.59) членами, содержащими р4 и более высокие степени, преобразуем (3.2.54) к виду
Л6Т'С (р) « AfeT'c (0) — vp2. (3.2.60)
Квадратичную по р зависимость будет иметь и температурное поле вблизи оси пучка [191. Используя (3.2.56), получаем в данном случае
Т (р) — Т (0) = —<РХ (0)>р2б/яи. (3.2.61)
В приближении заданного поля вместо амплитуды ui (Р. В; 0) следует рассматривать U (р) = % (р, 0; 0) и, кроме того, надо учесть, что «2< U. В результате вместо (3.2.50) получаем
dW/dl
ди.2/д1= {У2 sin Y;
: 2 (Л&о + А^с) + W C0S ^Iй2>
(3.2.62)
где А/г.,'с (р) определяется соотношением (3.2.60). Используя результаты, полученные в § 2.4 [см., в частности, (2.4.3) и (2.4.31)1, можно прийти к следующему выражению для (Р. ?)> в случае импульсов прямоугольной формы;
< «!(Р, ?)> = huu\ (р, ?; 0) =
= /т,Д2 ехр (—2р2) sine2 (А/г' (р)§), (3.2.63)
где
А?' (р) = Ьк'ь + А?т'с (р).
Используя (3.2.63) и (3.2.34 б), находим выражение для средней мощности второй гармоники на выходе кристалла
<Р2 (0 > = /тв -j.(p„ a10l(l)fx
xfe о
— 2ps
sine2 (Afe' (p) I (/)) p d p,
где
I (I) = aawl.
С учетом (3.2.36) представим (3.2.64) в виде <Р2 (I) >= Р20 (l)F(p'),
где
Ръо (0 = (4сКРх (0)»2/спр§ fxu
(3.2.64)
(3.2.65)
(3.2.66)
(3.2.67)
160
Гл. 3. Специальные вопросы генерации второй гармоники
— выходная мощность второй гармоники в отсутствие тепловых эффектов и расстройки, р'
F (р') = 4 j е~2р* sine2 (Ak' (p) g (/)) p dp (3.2.68)
о
— функция, описывающая уменьшение эффективности преобразования вследствие тепловых самовоздействий.
Предположим, что на оси пучка поддерживается температура синхронизма (рис. 3.5, а):
