Прикладная нелинейная оптика: Генераторы второй гармоники и параметрические генераторы света - Дмитриев В.Г.
Скачать (прямая ссылка):
дщ/дЪ, = — нх н2 sin Ч*- — б( Hi; dUbldl = u\smW—б' н2;
<347<3? = 2 (Ak'0 + А&тс) + («1 — 2н^) cos Ч*7н2;
- V* А&тс (р, 5) = у б/ П, <и; (р, 5)>
2РКР
(3.2.24)
с граничными условиями
«1 (P. t) = U (р; f); н2 (р, 0; t) = 0; (3.2.25)
(<5А^тс/ф)р=р' = (Г' — Л&о) Р’ Bi, (3.2.26)
где Г' = Т/2аа10.
Первые три уравнения в (3.2.24) — укороченные уравнения для вещественных амплитуд и обобщенной фазы, четвертое — уравнение теплопроводности.
Поскольку на практике применяются слабопоглощаю-шие нелинейные кристаллы, то в укороченных уравнениях в системе (3.2.24) можно пренебречь потерями на поглощение излучения.*) Этого, однако, принципиально нельзя делать, обращаясь к уравнению теплопроводности. Итак, вместо (3.2.24) можно без ограничения общности рассматривать систему уравнений:
дих1д\= —Hi^sin^F; <Зи3/д?--= и\ sin Ч*-;
d’F/dl; = 2 (Д&о + Д&тс) + {и\ — 2и\) cos
2
- VI АКс (р, 5) = у б/ nt <и? (р, g)>
р
(3.2.27)
*) Обычно б1>2 < 10_а см-1. Принимая /= 1 4 см, находим,
что ехр [— (0j + о2) П отличается от единицы всего на 2 -Ь 8%.
3.2. Учет тепловых самовоздействий
153
Заметим, что согласно (2.4.10) и (3.2.3)
Sl (р> 0)= it аie <Н? (р> 0)> “ j (р* °; dL
(3.2.28)
Полагая для простоты, что импульсы основного излучения и второй гармоники имеют прямоугольную форму (во времени)
«,.г(рЛ;0 = (“,'2<р'Е;0,,1ри|'|<т”/2; (3.2.29)
{ 0 При |?|>Ти/2,
получаем из (3.2.28)
Si (Р, 0) = т1а?о/т;ии? (Р. 0; 0)/8я. (3.2.28а)
Поскольку «1 (0, 0;0)=1, то, следовательно,
S10 = Si (0, 0) = cnid\ofxJ8n. (3.2.30)
Используя (3.2.2) и сопоставляя записанные выше выражения, заключаем, что
н? (р, 0; 0) = ехр (—2р2); (3.2.31)
<и\ (р, 0)> = fxa ехр (—2р2). (3.2.32)
. Отметим, что для прямоугольных (во времени) световых импульсов справедливо соотношение
<и?,а (р. ?)> = М.2 (р. Е; 0). (3.2.33)
Уравнение теплопроводности и средняя мощность излучения; параметры теплового самовоздействия. Средняя мощность основного излучения в некотором сечении § определяется выражением
2Я р'
<Pi ©> = j" dq> j” Фрр0а ^ а\в (и\ (P, ?)> =
о о
1 Рг
= — спх (Ро a10)2j <«5(p, g))pdp. (3.2.34а)
154
Гл. 3. Специальные вопросы генерации второй гармоники
Аналогично для средней мощности второй гармоники имеем
р'
<^(?)> = -j-c«2(p0a10)2j <«1(Р»?)>РФ- (3.2.346)
о
Используя (3.2.32), находим из (3.2.34а)
1 РГ
<Pi (0)> = y /ти cni (Ро ЩоТ J ехР (— 2р2) рс/р =
о
= Ьш cni (Ро ах0/4)2 [ 1 — ехр (— 2р'*)]. (3.2.35)
Полагая р'»1, можно приближенно принять
<Pi (0)> = hnCn-г (р0а10/4)2. (3.2.36)
Пренебрегая в укороченных уравнениях потерями на поглощение излучения, можно считать, что
<Рх (Е)> + <Я2 (?)> = <Рх (0)> • (3.2.37)
Проинтегрируем четвертое уравнение в системе (3.2.27) (уравнение теплопроводности) по р от нуля до р':
_ , /ам;\ = *, РЛ <и!
V ф /р = р' кр ,4*1 oJ
(3.2.38)
Используя (3.2.34), преобразуем (3.2.38) к виду V др )Р=Р' РкР
или
_р, ’ V, <*№)>/<* (0)>, (3.2.39)
V ор /р=р'
где
V* = 26/ <рг (0)>//экР (3.2.40)
— так называемые параметры теплового самовоздействия.
Из (3.2.39) и (3.2.26) следует, что
Ak' ©_Г' = 2 v, </>, (|)>/<Л (0)> Bi. (3.2,41)
3.2. Учет тепловых самовоздействий
Вводя коэффициент преобразования по энергии (по средней мощности)
42 (6) = <Рг &)>KPi (0)> (3.2.42)
и учитывая (3.2.37), перепишем (3.2.41) в виде
АН (|) - Г = [vx (1 - ть (?)) + v2ria (S)]/Bi.
(3.2.43)
Идеальный тепловой контакт; дисперсия параметров теплового самовоздействия отсутствует. Перейдем к анализу различных ситуаций [15, 18—22]. Начнем со случая, когда
1/Bi — 0; vx = v2 = v. (3.2.44)
Условие 1/Bi = 0 означает, что рассматривается идеальный тепловой контакт. Условие vx = v2 означает, что потери на поглощение излучения в кристалле одинаковы для волн основной частоты и второй гармоники (6Х = 62 = б). При идеальном тепловом контакте имеем
7 (р', I) *= Г0. (3.2.45)
В этом случае заданы граничные условия первого рода: температура поверхности кристалла равна температуре термостата.
Перепишем четвертое уравнение в системе (3.2.27) (уравнение теплопроводности), учитывая (3.2.29) и (3.2.36) и предполагая, что п1 = п2 = п:
2
-V5 (р, 5) = IffM. У б/ „«(р> 5; 0). (3.2.46)
Рк» if1
В рассматриваемом случае vx = v2 = v (а значит, 8! = = 62 = б'); поэтому с учетом (3.2.40) преобразуем
(3.2.46) к виду
-V2P Akn (Р, 5) = 4v 2 и/(р, S; 0). (3.2.47)
г=1
Далее заметим, что согласно (3.2.37)
<«? (Р, %)>+ <«2 (Р. ?)> = <м? (Р, 0)> и, следовательно,
и\ (р, 1\ 0) + ul (р, g; 0) = н? (р, 0; 0). (3.2.48)
156
Гл. 3. Специальные вопросы генерации второй гармоники
Подставляя (3.2.48) в (3.2.47) и используя (3.2.31), получаем
— Vp Afe4 (Р) = 4v ехр (—2р2). (3.2.49)
В результате система уравнений (3.2.27) принимает вид
диг/д1 = -~UiU2 sinY; дк2/<31 = и\ sin Ч*-; dW/dl = 2 (Afe' -f Afexc) + (m? — 2h|) cos ?/и2; —Vp Afe^c (p) = 4v exp (—2p2).
(3.2.50)
Обратим внимание на то, что уравнение теплопроводности «расцепилось» с укороченными уравнениями. Физически это связано с тем, что тепловая картина определяется поглощением суммарной средней мощности взаимодействующих волн, которая в данном случае (при vj = v2) практически постоянна в любом сечении § кристалла. Из (3.2.49) видно, что тепловая расстройка Afe^c есть функция только радиальной переменной р и постоянна по длине кристалла.
