Прикладная нелинейная оптика: Генераторы второй гармоники и параметрические генераторы света - Дмитриев В.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Волновая расстройка Ak (г, г), обусловленная отличием Т (г, г) от Т0, может быть представлена в виде [напомним соотношение (3.1.2)]
Ak (г, z) = 4я (дВ/дТ)т=т0[Т (г, z)—Тс]/^. (3.2.6)
С учетом (3.2.5) перепишем это равенство
Ak (г, z) = Ak0 (z) + AkTC (г, z), (3.2.7)
где
Ak0(z) = 4n(dB/dT)T=To[T(r0, z) —Tc]/Xj (3.2.8)
— расстройка, связанная с отличием температуры боковой поверхности кристалла (в сечении г) от температуры синхронизма,
А&тс(г, z) = 4сп(дВ/дТ)т=т0&Т(г, z)A: (3.2.9)
т,
T(r0,z) Т
JQ
Jc
0 г0
Рис. 3.4
.2. Учет тепловых самовоздействий
149
¦^-дополнительная расстройка, обусловленная тепловыми гамовоздействиями (неоднородным температурным полем); азовем ее тепловой расстройкой¦
Используя (3.2.9), найдем полуширину 8Т температурной кривой синхронизма. Функция
S2 (I) ~ sin2 (Дйт с//2)/ (Мто//2)2
авна половине своего максимального значения при Л?т.с= nil. Подставляя в это равенство результат (3.2.9), на-одим искомую полуширину:
ЬТ = %1![А1{дВ1дТ)т=тй\. (3.2.10)
Введем критическую мощность самофокусировки [16]
Рю = *Ь11(дВ1дТ)т=т0, (3.2.11)
-де и — коэффициент теплопроводности. Если средняя входная мощность основного излучения больше Якр, то фазовый фронт волны существенно искажается вследствие тепловых самовоздействий.
Используя (3.2.11), перепишем (3.2.10) в виде
= Якр/4и/. (3.2.12)
При Якр = 10~а Вт, и = 1,3 • 10-2 Вт/ (см • К), / = 4 см
получаем 8Т та 0,2 К. Приведенные оценки характерны
для кристалла ADP.
С учетом (3.2.11) соотношения (3.2.8) и (3.2.9) преобразуются к виду
Ak0T{z) = 4лк [Т (го, г) — Т0]/Якр; (3.2.8а)
Д&тс (г, г) = 4лиДТ (г, 2)/РкР. (3.2.9а)
Уравнение теплопроводности. Пренебрегая вкладом от термоупругих напряжений, запишем уравнение теплопроводности в виде
д7’ (г, г) + 2 2 6г St (г, г) = 0, (3.2.13)*)
?= 1
Где^=т|(4)- Это есть стационарние уравнение теплопроводности для аксиально-симметричного тела с внутрен-
*> Продольными (вдоль оси г) потоками тепла можно^прене-бречь ввиду их малости по сравнению с поперечными потоками.
150
Гл. 3. Специальные вопросы генерации второй гармоники
ними источниками тепловыделения [17]. Источники тепловыделения описываются слагаемыми 26г5г(г, г), где Sx (г, z) и S2 (г, z) — усредненные по времени плотности мощности основного излучения и второй гармоники соответственно.
Используя (3.2.9а), преобразуем уравнение (3.2.13) к виду
2
_v* A^(r,z)=^yi e,St(r,z). (3.2.14)
Вводя
00
(at(r, z)} = f j af{r,z\t)dt --------------- 00
[cm. (3.2.3)] и учитывая (2.4.40), перепишем (3.2.14):
2
— Vr2 A?TC (r, z) = У б, «г {af (г, г)>, (3.2.15)
1=1
ИЛИ
2
— Vp А?тс (р, г) = -?В1- Y б, л, <а? (р, г)>, (3.2.16) где р — г/р0.
При рассмотрении уравнения теплопроводности используют различные граничные условия [17]. Граничные условия первого рода задают определенные значения температуры на поверхности тела. Граничные условия второго рода задают на поверхности тела производную от температуры по нормали к поверхности (иначе говоря, задают плотность теплового потока через поверхность). Граничные условия третьего рода предполагают, что тепловой поток через поверхность тела пропорционален разности температур поверхности и термостата; при этом задается коэффициент пропорциональности (его называют коэффициентом теплоотдачи).
Граничные условия третьего рода в рассматриваемом здесь случае можно записать соотношением
- (и/Ро) (дА77<Зр)р=р< =а[Т (р') - Г0],
(3.2.17)
5.2. Учет тепловых самовоздействий
где а — коэффициент теплоотдачи; р' = г0/р0. С учетом (3.2.8а) и (3.2.9а) преобразуем (3.2.17) к виду
— (и/р0) {dAkTOldр)р=р< = а [Д*0 — 4пх (Т0 — Тс)/Ркр]. Перепишем это выражение:
Безразмерный параметр Bi (так называемый параметр Био) характеризует степень теплового контакта на границе кристалл-термостат. При Bi сю тепловой контакт приближается к идеальному, что адекватно отсутствию теплового потока через боковую поверхность кристалла. В этом случае граничное условие (3.2.18) должно быть заменено условием первого рода (задана постоянная температура поверхности кристалла).
Система уравнений для генерации второй гармоники с учетом тепловых самовоздействий. Будем исходить из системы укороченных уравнений (3.2.28). Полагая ai = =
= а и учитывая (3.2.7), перепишем эту систему в виде
да1/дг = — ааг а2 sin Ч*- — а^,
Введем вместо г переменную 5 = %оа10, где а10 — вещественная амплитуда волны основного излучения на входе кристалла на оси пучка в максимуме импульса. Кроме того, обозначим
^1,2 = alj2/a10; $1,2 = Ak = A&/2оа^. (3.2.22)
В результате система уравнений (3.2.21) примет вид
Генерация второй гармоники с учетом тепловых самовоздействий может быть рассмотрена на основе решения
где
(dAkTe/dp)w = (Г — A?„)p'Bi,
Г = 4яи (Т0 - ГС)АРКР;
Bi = а г0Ы.
(3.2.18)
(3.2.19)
(3.2.20)
да2/дг = оа\ sin Ч*- — 62 а2\
д^/дг = Ak0 + Д&тс + a cos ? (а\ — 2а| )/я2.
(3.2.21)
(3.2.23)
152
Гл. 3. Специальные вопросы генерации второй гармоники
системы укороченных уравнений (3.2.23) совместно с уравнением теплопроводности (3.2.16). Таким образом, надо решать следующую систему уравнений относительно функций ииa (р, g; t), У (р, ?), Л?тс (р, I):
