Прикладная нелинейная оптика: Генераторы второй гармоники и параметрические генераторы света - Дмитриев В.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Воспользуемся приближением заданного поля основного излучения. В этом приближении надо сохранить в
(3.1.6) только второе уравнение и вместо Ах (х, у, z) ис-
3.1. Генерация гармоники в линейно-неоднородной среде 135
пользовать А10 (х, у). Таким образом, задача сводится к решению уравнения
—' A'i = А2о (*, г/) х
Эг 2 К dz
X ехр
/ | Afe (х, z', q) dz’
(3.1.8)
с граничным условием
Л 2 (х, у, 0) = 0. (3.1.9)
Интегрируя (3.1.8) по г от 0 до /, получаем с учетом (3.1.9)
1 А2 (х, у, г) дК
К (X, у, Z) дг
= — i а2 А\о (х, у) J ехр i | Ak (k, z', q) dz'
dz. (3.1.10)
Далее учтем, что t
J_CAsdK_dz<Ai (/) Г^^1 = Л2 (/) In
2 .] К dz w J dz К
К (x, I, q)
«
К (x, 0, q)
0 0
« A2 (x, у, I).
Следовательно, вторым слагаемым в левой части (3.1.10) можно пренебречь. В результате приходим к следующему выражению для амплитуды второй гармоники на выходе кристалла в точке (х, у):
I Г z
А2 (X, у, /) — — i СГ2 А\о (х, у) j ехр i j Ak (k, z', q) dz'
о L о
(3.1.11)
Используя (3.1.2) и (3.1.4), представим интеграл I —
Z
— _[ Ak (x, z', q) dz' в виде [4, 5]
dz.
I = Akqz -f (4я/Aj) V В (xz sin a -j- z2 cos a/2),
(3.1.12)
136
Гл. 3. Специальные вопросы генерации второй гармоники
где
ли / . ГдВ (0,0, о) . D , j DI
Akq = — (q— qc)—^—Si. ; vB = lgradBj.
Vi dq
<7=9,
С
Подставляя (3.1.12) в (3.1.11) и применяя соотношение S2 = = (с«|/8я)Л2Л2, получаем следующее выражение для плотности мощности второй гармоники на выходе кристалла в точке (я, г/):
1 1
s2 (*, У. /, V) = <*2 /2 Ato (х, у) J J ехр 1 (?—?') +
о о
xl (I—?') sin а + 12 (?2--- ?'2) cos а|
(3.1.13)
(здесь ? = г//; V = г'/I).
В случае однородной среды расстройка зависит только от q, и (3.1.11) принимает вид
I
А? (х, у,1)= —га2 А{0 (х, у) J ехр (iAkq г) qz, (3.1.14)
о
или
. А2 (х, у, г) = —'io2 Л20 (х, у) ; sine (Дйд 1/2) ехр (iAfcg 1/2). Отсюда следует, что
8ппе ( Akq I \
S2 (х, у, 1) =----а I PSf(x, у, 0) sinc^ —- (3.1.15)
сп1\ \ 2 /
[ср. полученный результат с (2.4.47)].
Пучок с амплитудой, пространственно модулированной функцией Гаусса. Ограничимся рассмотрением пучков основного излучения, имеющих плоский волновой фронт и амплитуду, модулированную функцией Гаусса:
Ам (х, у) = Л о ехр [— (хг -f #2)/poJ- (3.1.16)
Будем использовать только приближение заданного поля основного излучения*К
*) Влияние неоднородности среды на генерацию второй гармоники в нелинейном режиме рассматривается в [6], а в приближении заданной интенсивности — в [7J.
3.1. Генерация гармоники в линейно-неоднородной среде 137
Подставим (3.1.16) в (3.1.13) и перейдем от плотности мощности S2 (х, у, I, q) к мощности Р2 (I, q):
(h Я) = J j S2 (x, у, I, q) dxdy --
cn% Т/я Pq q| 2* A%
16я
X
l l
X J dx J j d&lV exp
+ 2 i
ф (D- ф (S')+th—a-s')]) • (3.1.17)
Po . J
Здесь введены обозначения
<p (I) = Akgll/2 -f яц2^2/4; iHi = я/р0 Vfi sin a/^;
= 4 V?/2 cos a/V
Используя соотношение [8]
J exp (— p2x2 + qx) dx~ exp
4/?2
"l/я
(3.1.18)
(3.1.19)
(3.1.20)
(3.1.21)
и полагая p = 2/p0, g = 4!^ (? — i')/p0, преобразуем
(3.1.17) к виду
l l
,(/, 9) = (с/г| рЗ аЗ Л8/32) J [ ехр {2г [ф (g) — Ф(?')]—
о о
~Hf (?-?')*}<№. (3.1.22)
Далее заметим, что
1 1
15 sin {2 [Ф(?)-Ф (?')]} ехр[~И (Е-S')2] dm = о. (3.1.23)
о о
Результат (3.1.23) следует из того факта, что подынтеграль-. ное выражение, как легко видеть, меняет знак, если в нем поменять местами ? и ?'. Учитывая (3.1.23) и используя соотношение ехр 1-Ф = cos Ф + i sin Ф, получаем выраже-
138
Гл. 3. Специальные вопросы генерации второй гармоникй
ние для мощности второй гармоники в рассматриваемом случае:
Рч Я) = (Щ °2 l2icnh р§) Р\о х
1 1
х J J cos {2 [ф (5)—Ф (?')]} X
о о
X ехр[ —f
(3.1.24)
где [ср. с (2.9.16)]
ю -
сп01
8я
00
¦ J J Л?о (X, у) dxdy = . (3.1.25)
Поперечно-неоднородная среда. Предположим, что а = я/2 и, следовательно,
[хх = л/р0 V В/ki, (х2 = 0. В этом случае получаем из (3.1.24)
(3.1.26)
_8п%о%РР10
Р^~ j J cos [2Й (?-?')] {г~ъ')г mi’,
0 о о
с«о1 Р
и и
(3.1.27)
где Q = Akql/2. Результат (3,1.27) можно представить в более удобном для выполнения расчетов виде:
8n%alPPU
00
I «р(.
ZL
M'f
sinc^Q + X)^, (3.1.28)
Vncn^ р| Их Jc
где X = 2лг[д.1/р0. Для этого надо в (3.1.17) положить — 0 и выполнить интегрирование по ? и
Г Г ехр [/2 (Й + Л") (? — = sinc2(?2-f А:),
о о
В случае сильно неоднородной среды ([Ах » 1) интеграл в (3.1.28) можно выразить через элементарные функции. При [Xj > 1 функция ехр (—X2/\i\) может рассматриваться как медленно изменяющаяся с изменением X. По срав-
щ
Ш. 3.1. Генерация гармоники в линейно-неоднородной среде 139
Щ,
нению с ней функция sine2 (?2 + X) меняется быстро; она быстро спадает (стремясь к нулю) в обе стороны от точки X = —?2. Поэтому в (3.1.28) можно в данном случае при-•? ближенно принять
ехр (—X2/[xf) ss ехр (—Q2/jj,i). (3.1.29)
Таким образом,
00
J ехр (—X2/[ii) sine2(Й-f- X) dX ss
— 00
^e-o'/n} j sine2 (Й -\-X)dX = ne~~Q>,ilK (3.1.30) —» 00
С учетом (3.1.30) выражение (3.1.28) принимает вид
P2 = (8nlVn(J2l2lcnli po|J-1)Pfoexp(—й2/|х?). (3.1.31)
