Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
Возьмем фиксированное и не очень большое значение массового параметра на фиг. 10.3, например Xn = O,19. Минимум энергии имеет место .при радиусе элементар-
Фиг. 10.3. Энергия как функция размеров ячейки, занимаемой одним нейтроном, для идеализированного состояния звезды, искусственно поддерживаемого при постоянной плотности, в упрощенной модели, предполагающей 1) 100%-ное содержание нейтронов, 2) фермиевскую энергию для идеального нейтронного газа, 3) гравитационное воздействие кинетической энергии нейтронов наряду с массой-энергией покоя и 4) пренебрежение общерелятивистскими
поправками.
Имеются два равновесных состояния —одно устойчивое, другое неустойчивое—для значений массового параметра Knf меньших критического значения А, =0,256. При ббльших значениях равновесия не существует и система ^ непрерывно спадается (коллапс).
350
Глава 10
ной ячейки rn«4,07, не слишком сильно отличающемся от 1ДП = 5,26. Рассматривается существенно нерелятивистская задача. Выражение для энергии (15я) неплохо аппроксимируется нерелятивистским выражением того же самого вида (21), что использовалось для электронов. Минимум существует в обоих случаях, так как всегда можно компенсировать нерелятивистскую кинетическую энергию, положительную и пропорциональную 1 /г2, нерелятивистской гравитационной энергией, отрицательной и пропорциональной 1/г.
Новое свойство, появляющееся в релятивистском пределе
Пусть теперь то же самое число фермионов будет упаковано значительно плотнее, так что они станут релятивистскими. Кинетическая энергия будет теперь возрастать пропорционально >не квадрату импульса, а лишь его первой степени, т. е. как 1 /г, а не как 1 /г2. В этом отношении нейтронная модель не отличается от электронно-железной модели. Ho что касается гравитационной энергии, то здесь картина существенно меняется. В электронно-железной модели гравитационная масса относилась к статическим объектам — ядрам Fe56 и лишь в пренебрежимо малой степени к электронам, будь они релятивистскими или нерелятиівистскими. Совсем другое дело нейтронная модель! Когда нейтроны становятся релятивистскими, вклад их кинетической энергии в массу системы становится существенным. Масса, приходящаяся на одну частицу, увеличивается в Y1 + 1 Ir2 раз. Этот множитель, кроме того, входит двояким образом — на него умножается обычный множитель 1 Ir, отражающий зависимость гравитационной энергии от расстояния. Поэтому гравитационный член
появляющийся в результате в формуле для энергии (15я) и на фиг. 10.3, при сильных сжатиях превышает кинетическую энергию. Иными словами, если при ежа-
Сверхплотные звезды и критическое число нуклонов 351
тии объекта превысить определенную критическую плотность (см. максимум кривой на фиг. 10.3), то этот объект будет сжиматься дальше сам по себе. В максимуме система неустойчива.
Критические условия для нейтронной модели
При увеличении массового параметра состояние устойчивого равновесия и состояние неустойчивого равновесия сближаются. Выше критического значения
k _ 2[/33-5]1/2_025 п КРИТ ~ |Лзз + I — и’/аь>
А == In2A0 = 1,058 -IO57. (26)
Мкрит г = Am* = 1 »77 • IO33 г = 0,89M0
уже не существует равновесного состояния — ни устойчивого, ни неустойчивого.
Точная теория равновесия
При точном анализе равновесных состояний масс вещества, удовлетворяющего уравнению состояния, которое соответствует фиг. 10.1, сразу же обнаруживаются все закономерности, полученные нами приближенно. Мы предположим, что 1) имеет место сферическая симметрия, 2) вращение отсутствует и 3) наблюдается статическое равновесие.
Вместо того чтобы находить минимум энергии относительно одного параметра — радиуса сферы с одинаковой везде плотностью, нужно найти минимум энергии относительно бесчисленного множества параметров. Иначе говоря, нужно варьировать самое кривую распределения— функцию р(О, которой выражается зависимость плотности от расстояния точки от центра. Отыскивая такой минимум в случае общерелятивистского выражения для энергии системы по методу Эйлера — Лагранжа, мы получим дифференциальное уравнение для давления р как функции радиальной координаты г.
352
Глава 10
Если бы речь шла о равновесии в рамках нерелятивистской гидростатики, то вывод этого уравнения был бы элементарным. Выделим элемент объема толщиной dr и сечением 1 см2 на расстоянии г от центра. Приравняем результирующую силу, действующую на этот элемент объема, нулю:
p(r) — p(r + dr) — g(r)p(r)dr = 0. (27)
Здесь ускорение силы тяжести g(r) вызывается в целом массой
T
M (г) == J р (г) • 4яг2 dr, (28)
о
лежащей внутри сферы радиусом г. Тогда
ё{г) = ЩР-. (29)
Мы находим, таким образом, что
?.=-Р Я^И. (30)
Правильное не только в частной, но и в общей теории относительности [17], уравнение отличается от уравнения (30) членами порядка 1/с2:
dp (г) __ [р (р) + с~2р] G [М (г) + 4пс~2р (г) г3] ,оіч dr ~ r[r — 2GM(r)/c2] •
Систематизация всех равновесных состояний по величине плотности в центре
Вакано (см. [1]) проинтегрировал уравнение (31),используя уравнение состояния, выведенное Гаррисоном и Уилером и представленное графически на фиг. 10.1. При таком интегрировании не очень удобно задавать сначала полное число нуклонов, а затем уже определять, как эти нуклоны размещаются в пространстве. Вполне может оказаться, что выбранное число нуклонов слишком велико (см. фиг. 10.3) и ему не соответствует никакое равновесие! В таком случае уравнение гидростатического равновесия (31) вообще неприменимо. Поэто-
