Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
для звезды, со-
() -L M hi. <™ящей из /1C \
I1 'TF J г электронов И К'Ъе)
ядер Fe6*,
для звез-
тронов.
Часть энергии
звезды, завися-
щая от давле-
ния
Энергия покоя
фермионов, соз-
дающих давле-
ние
Сверхплотные звезды и критическое число нуклонов 345
л2/3=
Здесь К — массовый параметр, показывающий, какую долю энергии покоя составляет гравитационная энергия. Он прямо пропорционален числу нуклонов в звезде А, возведенному в степень %:
(-gg-j Aq Xf для электронно-железной звезды, (16tf)
Я'К для нейтронной звезды. (16я)
Характеристическое массовое число A0 определяется по формуле
^ =/1125пУ/3 Ьс /іт\
* ПйІ (17)
Безразмерная величина
-^- = 1,691.1038 (18гр)
П
играет в гравитационном взаимодействии такую же рЬль, что и величина
-J-= 137,037 (18эм)
© электромагнитном взаимодействии. Очень большое
численное значение величины (18гр) свидетельствует о том, что для преодоления гравитационным взаимодействием всех других сил необходимо объединить множество нуклонов. Именно, характеристическое массовое число равно
4=8,17-1057. (19)
Умножая эту величину на массу «нейтрона, найдем характеристическую массу
Aomn = 13,68 • IO33 г = 6,89М0, (20)
где M0— масса Солнца (1,987 • IO33 г).
Стабильность электронно-железной модели при Xe < 1
Для идеализированной модели звезды, состоящей из электронов и ядер железа Fe56, часть энергии, обусловленная сжатием, зависит от радиуса элементарной
Фиг. 10.2. Энергия как функция размеров ячейки, занимаемой одним электроном, в частнорелятивистском приближении для идеализированного состояния звезды, искусственно поддерживаемого при постоянной повсюду плотности.
Учтены два вида энергии: 1) кинетическая энергия плюс энергия покоя нуклонов и 2) гравитационная энергия (в предположении, что на каждые 26 электронов приходится масса одного ядра Fe*6). Вплоть до критического значения массы, определяемого массовым параметром ^=*1, каждому значению массы соответствует одно состояние устойчивого равновесия системы. При критическом же значении теоретически вычисленная плотность бесконечно велика— симптом того, что это приближение неудовлетворительно, так как электроны начинают взаимодействовать с ядрами в соответствии с реакцией обратного (3-распада.
Сверхплотные звезды и критическое число нуклонов 347
ячейки ге так, как показано на фиг. 10.2. При любом значении массового параметра Хе> меньшем единицы, на кривой зависимости энергии от радиуса имеется минимум. В этом случае звезда устойчива.
Нерелятивистский предел
С уменьшением величины массового параметра Xe уменьшается сжатие и возрастает .по сравнению с комп-тоновской длиной волны радиус ячейки. В пределе при 1 можно пользоваться нерелятивистскими соотношениями. Тогда выражение Y^-jT г~2 можно заменить на 1 + 1/2г2. В таком случае нам нужно найти минимум для суммы нерелятивистского выражения кинетической энергии и гравитационной энергии, деленной на энергию покоя всех электронов, т. е. минимум выражения
Эта величина имеет экстремальное значение при радиусе элементарной ячейки, равном
гопт = Х7~Л'2/3- (22)
В указанном нерелятивистском пределе справедливо следующее:
1. Радиус ячейки пропорционален 1 /А2^ (где А — по-прежнему полное число нуклонов в данном объекте).
2. Радиус звезды пропорционален 1 /А'!* (пока А настолько «мало», что вещество звезды лучше рассматривать как твердое железо, а не как электронный газ; при еще меньших массовых числах А радиус, конечно, изменяется как Л,/8).
3. Плотность пропорциональна A2 (пока число А настолько малое, а давление настолько низкое, что плотность близка к нормальной плотности железа).
348
Глава IO
Критическое равновесие при ке = I
Указанные соотношения теряют силу в релятивистской области. Теоретически вычисленный радиус элементарной ячейки для идеализированной электронножелезной модели равен
/гл*
Гоот = "- -к • (23)
Для того чтобы этот радиус обратился в нуль, уже не нужно, чтобы массовый параметр Xe стремился к бесконечности [как в формуле (22)]. Ему достаточно принять свое критическое значение
крит 1 • (24)
Подставляя это значение в выражение (16е), определяющее массовое число, найдем критическую массу
Лїкриті = (§¦)* AflIn = 2,95 - 1033 2 = 1,48М0. (25)
По мере приближения массы к этому критическому значению теоретически вычисленная плотность неограниченно возрастает. Радиус ячейки стремится к нулю, а фермиевский импульс электронов становится бесконечно большим .по сравнению с тес.
На самом же деле, когда энергия электронов достигает нескольких миллионов электронвольт, изменяется физическая «артина. Электроны превращают протоны в нейтроны. Число электронов, приходящихся на один ба-рион, падает намного ниже принятого ранее значения 22I56. Ввиду этого теперь следует обратиться к идеализированной модели нейтронной звезды. Зависимость энергии такой звезды от радиуса элементарной ячейки гп представлена на фиг. 10.3.
Модель нейтронной звезды в нерелятивистском приближении