Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
Критическая масса
Почему должна быть какая-то критическая масса? Самым простым путем к ответу на этот вопрос можно прийти, спросив: каким образом радиус звезды устанавливается таким, чтобы ее полная энергия была наименьшей? Прежде всего мы рассмотрим этот вопрос при следующих упрощающих предположениях.
1. Ограничимся частной, а не общей теорией относительности, т. е. будеМ .пренебрегать искривленностью пространства. Это предположение соответствует действительности в первой переломной точке и неплохо отражает ее даже во второй переломной точке. В данном приближении мы будем также .пренебрегать эффективной массой, соответствующей давлению внутри звезды.
2. Будем считать, что вес звезды уравновешивается давлением фермиевских частиц только одного вида. Иными словами, будем идеализировать рассматриваемую звезду, считая, что ее масса до первой переломной точки поддерживается давлением электронов, уравновешивающим силы тяжести, действующие на ядра железа. До второй переломной точки все давление и весь вес будем идеализированно приписывать одним нейтронам (табл. 10.3).
3. Будем считать, что плотность везде одинакова. Вместо того чтобы выбирать распределение плотности внутри всей звезды таким образом, чтобы получить
342
Глава 10
Таблица 10.3
Идеализированные величины массы т\ фермионов, обусловливающих давление, и гравитационной массы т2, приходящейся на один такой
фермион
Перелом- ная точка Фермион и его масса покоя Ttll Гравитационная масса, которую считают связанной с этим фермионом Масса звезды, выраженная через число фермионов N
Первая Электрон, ГПе /иРе 66 т2= 26 26 т" M = Nmi
Вторая Нейтрон, TYln OT2 = OTn + , (Кинетическая энергия),, M = JVm2
1 C3
минимум ее энергии, мы сведем задачу к более простому случаю выбора одного параметра — радиуса R звезды с постоянной в пространстве платностью. Прежде чем говорить о радиусе звезды, рассмотрим радиус области, занятой в пространстве одним фермионом, и для удобства дальнейшего анализа выразим его через компто-новскую длину волны этого ферм^она:
Величину г можно назвать радиусом приведенной (элементарной) ячейки. Значения г 1 соответствуют большим длинам еолн де-Бройля и нерелятивистскому импульсу фермионов. Напротив, значения радиуса r<C 1 отражают сжатие, приводящее к ультрарелятивистскому импульсу. Собственно говоря, фермиевский импульс равен
PF=-^mlC. (11)
4. Сумма кинетической энергии и энергии покоя одного фермиона принимается равной
/TllC2 Y1 + г-2.
(12)
Сверхплотные звезды и критическое число нуклонов 343
Это выражение с точностью до 7% (табл. 10.4) согласуется с точным, но громоздким математическим выражением1) для энергии фермиевского газа.
Принятые нами упрощающие предположения позволяют без труда найти зависимость энергии холодной
Таблица 10.4
Сравнение значений выражения (12) и точных значений энергии (кинетической энергии плюс энергия покоя), приходящейся на одну частицу в ферми-газе в предельных случаях низких плотностей (больших значений радиуса элементарной ячейки г) и высоких плотностей (малых г)
T Точное значение средней энергии, приходящейся на нуклон в этом пределе Значение, соответствующее формуле (12)
Э> 1 <С 1 W‘c2+5 2«, -*«с,(1+15'*) 3 TnlC2 4 cpP- г --('+Ifr.) TTlxC2 г
звезды, доведенной катализом до завершения ее термоядерной эволюции, от радиуса звезды или от радиуса элементарной ячейки г:
(Гравитационная энергия шара радиусом R\ 3 GM2
и с массой Al, равномерно заполненного]= — — —— . (13) веществом / о R
Обозначим через А полное число нуклонов в звезде («массовое число»!). Если идеализированно представить себе, что звезда состоит из смеси ядер Fe56 и газа
!) Точное выражение для средней энергии (кинетической и энергии покоя), приходящейся на фермион, имеет вид
= YГ+^3--I5- U (2**-3) ут+я + 3Ar Sh х],
где
4 Pf
X =------=---—.
3 г TtiiC
По этой формуле вычислены значения величин, стоящие в среднем столбце табл. 10.4 Она была дана Чандрасекаром в работе [16]. Cm. также [10].
344
Глава 10
свободных электронов, то полное число электронов будет равно 2VeH. а гравитационная энергия составляет
/ 266 у/з G (AmnY (13е)
I 1125л ) ф/тес)(26А/56)тг ' ' ’
Если же считать, что звезда представляет собой скопление одних только свободных нейтронов, то гравитационная энергия равна
/ 256 у/з G UmnO+г-2)1'? т_ч
(й ZmnOAWr • (lda)
Здесь множитель (l + r-2)v* в числителе учитывает
«вес» кинетической энергии нейтронов.
Сумма кинетической энергии и энергии покоя частиц в звезде, рассматриваемой как система электронов и ядер Fe56 (мы пренебрегаем энергией связи нуклонов в железе), равна
AMnC2 + ^ тес* /Т+Т=5. (He)
В случае идеализированной нейтронной звезды сумма кинетической энергии и энергии покоя равна
AMnC1 (1 + г-8),/2. (14л)
Чтобы получить полную энергию звезды, сложим гравитационную энергию с кинетической энергией и энергией покоя. Будем рассматривать только ту часть этой полной энергии, которая зависит от сжатия, так как мы хотим найти оптимальный радиус элементарной ячейки г. Разделим эту энергию на энергию покоя всех фермио-нов, чтобы получить простые безразмерные функции: