Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
/ Энергия покоящейся частицы \ ___I cP ______
\ Энергия покоя на бесконечности /ньютоновское ' C2
значение
, 8яОр R3 1----з^2“ “27 снаРУжи*
= , 8лОр / 3R2 гг \
* ——Tj внутри-
364
Глава 10
Общерелятивистское решение
Ту же задачу в общей теории относительности рассматривал Шварцшильд. Для удобства он выбрал радиальную координату г таким образом, чтобы собственное расстояние по окружности, проведенной вокруг центра, определялось как величина г, умноженная на изменение угловой координаты:
ds2 = —ev^r) dt2eK{r) dr2r2(d§2sin20flf(p2).
Растягивающие множители v(r) и Х(г) находятся из уравнений поля Эйнштейна. Радиальный поправочный множитель равен
л 8яОр R3
1 зрг1— снаружи,
^w = I1 8л.(7р 2 (42)
1-----г2 внутри
и обращается в центре в единицу, как и должно быть из соображений регулярности геометрии вблизи центра. Ввиду своей связи с ньютоновским гравитационным потенциалом больший интерес представляет множитель временного растяжения е^г\ квадратный корень из которого является мерой расстояния между дираковскими морями1) состояний с положительной и отрицательной энергией:
evl2 =
__/ Энергия покоящейся частицы
______________________________
^Энергия ПОКОЯ на беСКОНвЧНОСТИ/эйнштейновское значение _ ?+ _ — _ E+ =
тс2 тс2 2 тс2
, 8яОр R3 \т
1 з^r-J снаружи,
!(
14 О - - -H1 - -f “го-- <43>
При малой массе, т. е. когда безразмерная величина, характеризующая радиус,
W«' т
‘) «Dirac’s seas» выражение, уже вошедшее в литературу в изложениях дырочной теории позитрона Дирака. — Прим. перев.
Сверхплотные звезды и критическое число нуклонов
365
намного меньше единицы, эти выражения переходят в соответствующие ньютоновы.
На фиг. 10.8 показано, как множитель^2—Е+/тс2 изменяется в зависимости от радиальной координаты г.
Фиг. 10.8. Общерелятивистский аналог потенциала тяготения (^v/2)» изображенный как функция радиального расстояния, для ряда значений массы шара, состоящего из несжимаемой жидкости.
Величина mf обозначает массу, измеренную в единицах характеристической массы (4яр/3) (Зс2/8я6р)3/а. Пометки «до» и «после» даны для того, чтобы указать массу до и после ее объединения в сферу, причем выражение
366
Глава JO
«до» относится к бесконечно далеко удаленным друг от друга капелькам. Величина ev/2 внутри объекта изменяется приблизительно по закону потенциальной энергии гармонического осциллятора, а вне его — почти как ньютонов потенциал точечной массы. Энергия, выделяющаяся при аннигиляции пары е+ и егу меньше cImc2 в evl2 раз. Просвет между состояниями с положительной и отрицательной энергией стремится к нулю, а давление в центре — к бесконечности, когда масса подходит к критическому значению1)
+ / 8 \3/2 Открит = 0,8382 = \j) .
При еще больших значениях массы приемлемых решений уравнений поля Эйнштейна не существует.
Уменьшение просвета между состояниями с положительной и отрицательной энергией
Смысл множителя ev/2 = E+/mc2 прост. В самом деле, рассмотрим случай аннигиляции электрона с позитроном. В нормальных условиях выделяющаяся при этом
Замечание Измеренная в характеристических единицах 4яр / 3с2 у3/2 3 \ 8л(3р /
и выраженная как функция безразмерного параметра масса звезды до слияния капелек равна
3 ______
/Идо = тр arc sin х — х YI — X2,
после же слияния
^после 88 -*3,
Для всех допустимых масс [тПОсле вплоть до значения (8/э)3/а] разница между этими массами может быть с точностью не ниже 10% выражена с помощью ньютоновской формулы д^я потенциальной гравитационной энергии шара:
3 5/3
(ЯЇДО ffl П0СЛе)нЬЮТ0Н e "iq" (Я? ПОРЛ«)
Сверхплотные звезды и критическое число нуклонов 367
энергия равна 2тс2. Такой же выход энергии можно получить и в следующем случае: возьмем свободные е+ и е~ на больших расстояниях по разные стороны от звезды. Предоставим им теперь падать со все возрастающей скоростью на жидкую сферу под действием гравитационного притяжения с ее стороны. Пусть эти заряды попадут каждый со своей стороны в отверстия трубки, проходящей через центр сферы, встретятся посредине и аннигилируют. Пусть, наконец, два получившихся фотона большой энергии (Еу>тс2) вылетают из противоположных концов трубки в бесконечность и при этом частота их меняется в соответствии с эффектом гравитационного красного смещения. Тогда при наблюдении на бесконечности каждый из этих у"квантов будет иметь энергию тс2. Изменим теперь описанный процесс. Будем спускать наши две частицы к центру медленно, удерживая их с помощью идеальных длинных нитей так, чтобы их аннигиляция произошла при относительной кинетической энергии, равной нулю. Вся работа, произ»веденная электроном и позитроном в поле силы тяжести, теперь передается экспериментатору через нити, которыми он манипулирует. Каждый из у-квантов, получающихся при аннигиляции, обладает энергией тс2 в лоренцовой системе отсчета, соответствующей центру звезды. Ho при уходе у-кванта на бесконечность энергия его становится меньше, а именно mc2evl2. Разность
