Отрывные течения. Том 1 - Чжен П.
Скачать (прямая ссылка):
/JL_\1/2_Ps. Л_?х\ (Ч\ (&У\ 1 _
\ PS / р 1 \ дх )y \ дУ ) х\ дх ) у)
/_Р_\I/2 /Га_\
I Ps / \ т I дУ*'
то уравнение движения примет вид
д2х дх д2х дх __ дие [А , у дхдУ дУ дУ* дх е дх У " д*% '] <?зх
2а2 Х 5У2
где ае - местная скорость звука на границе пограничного слоя.
Это уравнение аналогично уравнению для жидкости, за исключением члена
G = 1 + -У~- [и2- ____У-у
+ 2а| \ е \аУ ) J 2а*1 дУ*
ОТРЫВ ПОТОКА ГАЗА
233
Критерием отрыва считается ди/ду \ у=0 = 0, следовательно, отрыв потока
можно определить, принимая ди/ду или ди/дУ равными нулю в уравнении (1).
Для заданного распределения скорости замедляющегося основного потока из
уравнения (1) следует, что с увеличением числа Маха отрыв будет
передвигаться вперед. Из-за усиления влияния на пограничный слой члена ие
(dujdx), связанного с градиентом давления, за счет положительного
множителя [1 + {(у - 1)/2а^} и(r)], можно ожидать более раннего отрыва, что
и показывает численный расчет.
Расчеты по методу Польгаузена свидетельствуют, что по сравнению с отрывом
несжимаемого потока расстояние до точки отрыва от передней кромки
уменьшается на 5% при М = 1 и на 33% при М = 10.
1.2. МЕТОД ЛОФТИНА И УИЛСОНА
Лофтин и Уилсон [8] разработали теоретический метод быстрой оценки
положения точки отрыва двумерного ламинарного пограничного слоя газа. Они
обобщили упрощенное решение Денхоффа для жидкости [9], используя
преобразование координат Стюартсо-на [10], выражающее параметры
ламинарного слоя газа через эквивалентные параметры ламинарного слоя
жидкости.
Результаты расчетов точки отрыва ламинарного потока для широкого
диапазона чисел Маха и градиентов скорости показывают, что при любом
градиенте скорости с ростом числа Маха величина восстановления давления
перед началом отрыва уменьшается. Критерием отрыва является ди/ду | у=0 =
0. Как показано в гл. II, критерий отрыва Денхоффа выражается в виде
Это уравнение получено из интегрального соотношения Кармана в
предположении, что распределение скорости в пограничном слое в каждой
точке вдоль тела в области ускоряющегося потока аналогично распределению
Блазиуса на плоской пластине. Точка отрыва ламинарного потока газа
вычисляется с помощью преобразования Стюартсона
(2)
234
ГЛАВА VI
= Омакс_ (4)
г ае су v '
а также уравнения Денхоффа для жидкости. Индексы i, с и макс относятся
соответственно к несжимаемому и сжимаемому течениям и к точке максимума
скорости потенциального течения. Применение этого метода требует
громоздкого преобразования каждой точки из плоскости сжимаемого течения в
соответствующую точку плоскости несжимаемого течения. С помощью более
быстрого способа, заключающегося в прямом приложении метода, можно учесть
влияние числа Маха простым умножением измеряемого градиента скорости в
сжимаемом потоке на некоторый множитель. Тогда из уравнений (3) и (4)
имеем
ei _ J ^ ^ (амакс/ае) | амакс вс ) / амакс \ (3V- 1)/(V - 1)
dxi ^ ec dxc • ae dxc J \ ae ) '
Принимая за характерную скорость звука аМакс в точке максимума скорости
имакс и Uqмакс = имакс, найдем, что
d (и /и ) , и. , , , ,
i макс _ f сс d (амакс/ае) i
dxt \ и dxc
макс
ес емакс^ 1 / амакс \ (3Y *)/(Y 1)
ae dx,
Из уравнения энергии следует
dp
1 ^ амакс ^ (3v *)/(V 1)
амакс
У 1 + ^ " К/и*аксс)2} (7)
-1 М2 "<С
-• Ммакс
з { I \ -j ((" dxс
а (амакс/ае)
_________________________________макс________________________
1 , ",'13/2
[¦
(8а)
(V -1) М2макс {1 - К /"макс/}
2 w ^ *'"макс 1 ' ес/ макссу •> J
Предполагается, что приближенное определение точки отрыва ламинарного
потока в плоскости эквивалентного сжимаемого течения производится с
помощью преобразованного положительного градиента скорости в точке
максимума скорости. Такое допущение предполагает, что либо существует
разрыв в распределении скорости газа в точке приложения положительного
градиента давления, либо распределение скорости может быть
аппроксимировано таким способом. На основе этого предположения aefaMакс =
=
^ (амакс/ае) _ V - 1 1\Г2 ^ ej макс) (86)
dxc 2 Mdhc dxс
Если подставить уравнение (86) в уравнение (6) и предположить,
ОТРЫВ ПОТОКА газа
235
что иес/пмакс (r)макс/бе 1, то
rfcywp / v-1 м, \ (9)
Из этого уравнения видно, что градиент скорости в точке максимума
скорости жидкости равен соответствующему градиенту скорости газа,
умноженному на (1 + [(у - 1)/2] М^акс). Эквивалентная длина плоской
пластины в потоке .газа (индекс с) равна
жмакс
С | !с_\8'17 | "ма"о \ 8,17 / Ч (3 v - 1)/(V-1)
J ' "макс. > \ ае ) \ аМакс )
О с
X
Принимая для воздуха у = 1,4, получаем
жмакс.
-ч.- j (**)
с J ' макс. ' V "е /
О
Если (аМакс/ае)0-17 " 1, то жмакс"
3,17
"*-ЭКВ"
и
Следовательно,
/ гаквг. \idUH\ [i , V-1 \ *экв* d"ec /13ч
F,-U^)bsr)- \1+~Ммакс)^ ** • (ld)
С помощью установленной зависимости между несжимаемым и сжимаемым
течениями положение точки отрыва ламинарного потока газа для известного
распределения скорости и заданного числа Маха находится следующим
образом:
